Найдите. наименьшее значение функции у=4cosx+21/π×x+6 на отрезке [-2π/3;0]
Давайте решим задачу шаг за шагом.
Дано:
Функция: \[ y = 4 \cos x + \frac{21}{\pi} x + 6 \]
Нам нужно найти наименьшее значение этой функции на отрезке \([-2\pi/3; 0]\).
Шаг 1: Понять структуру функции
Функция состоит из двух частей:
- \(4 \cos x\) - периодическая функция, которая колеблется в пределах от -4 до 4.
- \(\frac{21}{\pi} x + 6\) - линейная функция, которая является растущей.
Шаг 2: Найти производную функции
Для того чтобы найти экстремумы функции (минимумы и максимумы), найдем её производную и приравняем к нулю.
\[ y' = -4 \sin x + \frac{21}{\pi} \]
Теперь приравняем её к нулю: \[ -4 \sin x + \frac{21}{\pi} = 0 \] \[ \sin x = \frac{21}{4\pi} \]
Шаг 3: Найти значения \(x\)
Значение \(\frac{21}{4\pi}\) примерно равно \(1.67\), что больше 1, следовательно, уравнение \(\sin x = \frac{21}{4\pi}\) не имеет решений. Это означает, что в пределах отрезка \([-2\pi/3; 0]\) производная не обнуляется, и у нас нет критических точек, где функция могла бы иметь экстремумы.
Шаг 4: Посмотреть на границы отрезка
Поскольку у нас нет критических точек, нужно проверить значения функции на границах отрезка:
При \(x = -2\pi/3\): \[ y(-2\pi/3) = 4\cos(-2\pi/3) + \frac{21}{\pi}(-2\pi/3) + 6 \] Значение \(\cos(-2\pi/3) = -\frac{1}{2}\): \[ y(-2\pi/3) = 4 \left(-\frac{1}{2}\right) + \frac{21}{\pi} \cdot \left(-\frac{2\pi}{3}\right) + 6 \] \[ = -2 - 14 + 6 = -10 \]
При \(x = 0\): \[ y(0) = 4\cos(0) + \frac{21}{\pi}(0) + 6 = 4 \cdot 1 + 0 + 6 = 10 \]
Шаг 5: Сравнить значения
Теперь сравним значения функции на границах отрезка:
- \(y(-2\pi/3) = -10\)
- \(y(0) = 10\)
Шаг 6: Заключение
Наименьшее значение функции на отрезке \([-2\pi/3; 0]\) равно \(-10\), и оно достигается в точке \(x = -2\pi/3\).
Ответ: \(-10\)
