Чтобы выполнить действия с комплексными числами ( z_1 = 2 + (-1)i ) и ( z_2 = -1 + 3i ), давайте разберемся по шагам, что мы можем с ними сделать. Предположим, что мы хотим их сложить и умножить.
1. Сложение комплексных чисел
Чтобы сложить два комплексных числа, просто складываем их действительные и мнимые части отдельно.
[
z_1 + z_2 = (2 + (-1)i) + (-1 + 3i)
]
Теперь складываем действительные части и мнимые части:
- Действительные части: ( 2 + (-1) = 2 - 1 = 1 )
- Мнимые части: ( -1 + 3 = 2 )
Таким образом, сумма ( z_1 + z_2 ):
[
z_1 + z_2 = 1 + 2i
]
2. Умножение комплексных чисел
Чтобы умножить два комплексных числа, используем распределительное свойство:
[
z_1 \cdot z_2 = (2 + (-1)i) \cdot (-1 + 3i)
]
Расписываем это произведение:
[
= 2 \cdot (-1) + 2 \cdot (3i) + (-1)i \cdot (-1) + (-1)i \cdot (3i)
]
Теперь вычисляем каждое слагаемое:
- ( 2 \cdot (-1) = -2 )
- ( 2 \cdot (3i) = 6i )
- ( (-1)i \cdot (-1) = 1i = i )
- ( (-1)i \cdot (3i) = -3i^2 ) (помним, что ( i^2 = -1 ), значит, ( -3i^2 = 3 ))
Собираем все части вместе:
[
z_1 \cdot z_2 = -2 + 6i + i + 3
]
Суммируем действительные и мнимые части:
- Действительные части: ( -2 + 3 = 1 )
- Мнимые части: ( 6i + i = 7i )
Таким образом, произведение ( z_1 \cdot z_2 ):
[
z_1 \cdot z_2 = 1 + 7i
]
Результаты
- Сложение: ( z_1 + z_2 = 1 + 2i )
- Умножение: ( z_1 \cdot z_2 = 1 + 7i )
Если у вас есть дополнительные вопросы или нужно разобрать что-то еще, не стесняйтесь спрашивать!
