Чтобы решить задачу о числе элементарных событий с ( k ) успехами в ходе ( n ) испытаний, можно использовать формулу для вычисления биномиальных коэффициентов. В данном случае ( n = 11 ) (общее число испытаний), а ( k = 8 ) (число успехов).
Биномиальный коэффициент ( C(n, k) ) вычисляется по следующей формуле:
[
C(n, k) = \frac{n!}{k!(n - k)!}
]
где ( n! ) (факториал ( n )) — это произведение всех натуральных чисел от 1 до ( n ).
Шаги решения:
Вычислим факториалы:
- ( n = 11 ), значит ( n! = 11! = 11 \times 10 \times 9 \times 8 \times 7 \times 6 \times 5 \times 4 \times 3 \times 2 \times 1 = 39916800 ).
- ( k = 8 ), значит ( k! = 8! = 8 \times 7 \times 6 \times 5 \times 4 \times 3 \times 2 \times 1 = 40320 ).
- ( n - k = 11 - 8 = 3 ), значит ( (n - k)! = 3! = 3 \times 2 \times 1 = 6 ).
Подставим в формулу:
[
C(11, 8) = \frac{11!}{8! \cdot (11 - 8)!} = \frac{39916800}{40320 \cdot 6}
]
- Вычислим знаменатель:
[
40320 \cdot 6 = 241920
]
- Теперь подставим в числитель:
[
C(11, 8) = \frac{39916800}{241920}
]
- Выполним деление:
[
C(11, 8) = 165
]
Ответ:
Число элементарных событий с 8 успехами в ходе 11 испытаний равно 165.
Заключение:
Мы разобрали, как использовать биномиальные коэффициенты для вычисления числа способов достижения 8 успехов в 11 испытаниях, и нашли, что ответ равен 165.
