в прямоугольном треугольнике если катет равен половине гипотенузы, то угол, лежащий против этого катета, равен
Чтобы понять задачу, давайте разберем ее шаг за шагом.
В прямоугольном треугольнике один из углов равен 90 градусам. Пусть у нас есть прямоугольный треугольник, где один из катетов равен \( a \), а гипотенуза \( c \) равна \( 2a \) (так как катет равен половине гипотенузы).
Определим стороны треугольника:
- Один катет \( a \).
- Гипотенуза \( c = 2a \).
Используем теорему Пифагора: В прямоугольном треугольнике теорема Пифагора гласит: \[ a^2 + b^2 = c^2 \] где \( b \) — другой катет. Подставим известные значения: \[ a^2 + b^2 = (2a)^2 \] \[ a^2 + b^2 = 4a^2 \]
Решаем уравнение: Переносим \( a^2 \) в правую часть: \[ b^2 = 4a^2 - a^2 \] \[ b^2 = 3a^2 \] Теперь находим \( b \): \[ b = \sqrt{3a^2} = a\sqrt{3} \]
Находим угол, лежащий против катета \( a \): Теперь у нас есть все стороны треугольника:
- Катет \( a \)
- Другой катет \( b = a\sqrt{3} \)
- Гипотенуза \( c = 2a \)
Находим угол, лежащий против катета \( a \). Для этого используем функцию тангенса: \[ \tan(\theta) = \frac{\text{противолежащий катет}}{\text{прилежащий катет}} = \frac{a}{a\sqrt{3}} = \frac{1}{\sqrt{3}} \]
Определяем угол: Угол, для которого \( \tan(\theta) = \frac{1}{\sqrt{3}} \) равен \( 30^\circ \) (или \(\frac{\pi}{6}\) радиан).
Таким образом, угол, лежащий против катета, равного половине гипотенузы, составляет \( 30^\circ \).
