В прямоугольном треугольнике если катет равен половине гипотенузы, то угол, лежащий против этого катета, равен

Чтобы понять задачу, давайте разберем ее шаг за шагом. В прямоугольном треугольнике один из углов равен 90 градусам. Пусть у нас есть прямоугольный треугольник, где один из катетов равен \( a \), а гипотенуза \( c \) равна \( 2a \) (так как катет равен половине гипотенузы). 1. **Определим стороны треугольника:** - Один катет \( a \). - Гипотенуза \( c = 2a \). 2. **Используем теорему Пифагора:** В прямоугольном треугольнике теорема Пифагора гласит: \[ a^2 + b^2 = c^2 \] где \( b \) — другой катет. Подставим известные значения: \[ a^2 + b^2 = (2a)^2 \] \[ a^2 + b^2 = 4a^2 \] 3. **Решаем уравнение:** Переносим \( a^2 \) в правую часть: \[ b^2 = 4a^2 - a^2 \] \[ b^2 = 3a^2 \] Теперь находим \( b \): \[ b = \sqrt{3a^2} = a\sqrt{3} \] 4. **Находим угол, лежащий против катета \( a \):** Теперь у нас есть все стороны треугольника: - Катет \( a \) - Другой катет \( b = a\sqrt{3} \) - Гипотенуза \( c = 2a \) Находим угол, лежащий против катета \( a \). Для этого используем функцию тангенса: \[ \tan(\theta) = \frac{\text{противолежащий катет}}{\text{прилежащий катет}} = \frac{a}{a\sqrt{3}} = \frac{1}{\sqrt{3}} \] 5. **Определяем угол:** Угол, для которого \( \tan(\theta) = \frac{1}{\sqrt{3}} \) равен \( 30^\circ \) (или \(\frac{\pi}{6}\) радиан). Таким образом, угол, лежащий против катета, равного половине гипотенузы, составляет \( 30^\circ \).