Давайте обозначим натуральное число как ( n ). Тогда нам нужно найти такое ( n ), чтобы число ( \frac{n^3}{6} ) было четырехзначным.
Четырехзначные числа находятся в интервале от 1000 до 9999. То есть, мы должны решить неравенства:
[
1000 \leq \frac{n^3}{6} \leq 9999
]
Умножим все части на 6:
[
6000 \leq n^3 \leq 59994
]
Теперь найдем корни из 6000 и 59994, чтобы определить пределы для ( n ):
[
n \geq \sqrt[3]{6000} \approx 18.14 \quad \Rightarrow \quad n \geq 19
]
[
n \leq \sqrt[3]{59994} \approx 39.02 \quad \Rightarrow \quad n \leq 39
]
Таким образом, ( n ) может принимать значения от 19 до 39. Теперь посчитаем значения ( \frac{n^3}{6} ) для некоторых ( n ) в этом диапазоне.
Для ( n = 19 ):
[
n^3 = 6859 \quad \Rightarrow \quad \frac{6859}{6} \approx 1143.17 \quad \text{(не подходит, не целое)}
]
Для ( n = 20 ):
[
n^3 = 8000 \quad \Rightarrow \quad \frac{8000}{6} \approx 1333.33 \quad \text{(не подходит, не целое)}
]
Для ( n = 21 ):
[
n^3 = 9261 \quad \Rightarrow \quad \frac{9261}{6} = 1543.5 \quad \text{(не подходит, не целое)}
]
Для ( n = 22 ):
[
n^3 = 10648 \quad \Rightarrow \quad \frac{10648}{6} \approx 1774.67 \quad \text{(не подходит, не целое)}
]
Для ( n = 23 ):
[
n^3 = 12167 \quad \Rightarrow \quad \frac{12167}{6} \approx 2027.83 \quad \text{(не подходит, не целое)}
]
Для ( n = 24 ):
[
n^3 = 13824 \quad \Rightarrow \quad \frac{13824}{6} = 2304 \quad \text{(подходит)}
]
Таким образом, четырёхзначное число, которое в 6 раз меньше куба натурального числа, это 2304.
