Дан равносторонний треугольник ABC со стороной AB=4. Найдите скалярное произведение векторов BC и АС
Для решения задачи начнем с определения векторов BC и AC в равностороннем треугольнике ABC, где стороны равны 4.
Расположение треугольника:
Для простоты анализа разместим треугольник в координатной плоскости. Пусть:- Точка A будет находиться в (0, 0).
- Точка B будет находиться в (4, 0).
- Чтобы найти координаты точки C, мы воспользуемся свойствами равностороннего треугольника. Высота равностороннего треугольника делит его пополам и равна \( h = \frac{\sqrt{3}}{2} \times a \), где \( a = 4 \) — длина стороны.
Высота будет равна: \[ h = \frac{\sqrt{3}}{2} \times 4 = 2\sqrt{3} \]
Точка C будет находиться в координатах (2, \( 2\sqrt{3} \)) — это середина основания, и высота направлена вверх.
Определение векторов:
Теперь найдем векторы BC и AC:Вектор BC = C - B: \[ BC = (2, 2\sqrt{3}) - (4, 0) = (2 - 4, 2\sqrt{3} - 0) = (-2, 2\sqrt{3}) \]
Вектор AC = C - A: \[ AC = (2, 2\sqrt{3}) - (0, 0) = (2, 2\sqrt{3}) \]
Скалярное произведение векторов:
Скалярное произведение двух векторов \( \mathbf{u} = (x_1, y_1) \) и \( \mathbf{v} = (x_2, y_2) \) рассчитывается по формуле: \[ \mathbf{u} \cdot \mathbf{v} = x_1x_2 + y_1y_2 \]Подставим значения векторов BC и AC:
- \( \mathbf{BC} = (-2, 2\sqrt{3}) \) и \( \mathbf{AC} = (2, 2\sqrt{3}) \) \[ \mathbf{BC} \cdot \mathbf{AC} = (-2) \cdot 2 + (2\sqrt{3}) \cdot (2\sqrt{3}) \]
Вычислим каждую часть:
- Первая часть: \( -2 \cdot 2 = -4 \)
- Вторая часть: \( (2\sqrt{3}) \cdot (2\sqrt{3}) = 4 \cdot 3 = 12 \)
Подставим обратно в формулу: \[ \mathbf{BC} \cdot \mathbf{AC} = -4 + 12 = 8 \]
Ответ:
Скалярное произведение векторов BC и AC равно 8.
Таким образом, подробно разобрав задачу, мы получили ответ, что скалярное произведение векторов BC и AC в равностороннем треугольнике ABC со стороной 4 равно 8.
