Для решения задачи нам дано уравнение, описывающее наблюдаемую длину ракеты с учетом её скорости относительно наблюдателя:
[
l = l_0 \sqrt{1 - \frac{v^2}{c^2}}
]
Где:
- ( l ) — наблюдаемая длина ракеты,
- ( l_0 = 20 ) м — длина неподвижной ракеты,
- ( v ) — скорость ракеты (в км/с),
- ( c = 3 \cdot 10^8 ) м/с — скорость света.
Нам также дано, что наблюдаемая длина ( l ) стала не более ( 16 ) м.
Шаг 1: Записываем неравенство
Сначала запишем неравенство:
[
l = l_0 \sqrt{1 - \frac{v^2}{c^2}} \leq 16
]
Подставляем значение ( l_0 = 20 ):
[
20 \sqrt{1 - \frac{v^2}{c^2}} \leq 16
]
Шаг 2: Делим обе стороны на 20
Чтобы упростить, поделим обе стороны на 20:
[
\sqrt{1 - \frac{v^2}{c^2}} \leq \frac{16}{20}
]
Упрощаем дробь:
[
\sqrt{1 - \frac{v^2}{c^2}} \leq 0.8
]
Шаг 3: Возводим в квадрат обе стороны
Теперь возведем обе стороны в квадрат:
[
1 - \frac{v^2}{c^2} \leq 0.64
]
Шаг 4: Переносим и решаем неравенство
Переносим (-\frac{v^2}{c^2}) в другую часть неравенства:
[
-\frac{v^2}{c^2} \leq 0.64 - 1
]
[
-\frac{v^2}{c^2} \leq -0.36
]
Умножив обе стороны на (-1) (учитывая изменение направления неравенства):
[
\frac{v^2}{c^2} \geq 0.36
]
Шаг 5: Умножаем на ( c^2 )
Теперь умножим на ( c^2 ):
[
v^2 \geq 0.36 c^2
]
Шаг 6: Извлекаем корень
Извлекаем квадратный корень:
[
v \geq \sqrt{0.36} c
]
[
v \geq 0.6 c
]
Шаг 7: Подставляем значение ( c )
Подставляем значение ( c = 3 \cdot 10^8 ) м/с:
[
v \geq 0.6 \cdot (3 \cdot 10^8)
]
[
v \geq 1.8 \cdot 10^8 \text{ м/с}
]
Шаг 8: Переводим в км/с
Теперь переведем в км/с, деля на 1000:
[
v \geq \frac{1.8 \cdot 10^8}{1000} = 1.8 \cdot 10^5 \text{ км/с}
]
Ответ:
Минимальная скорость ракеты, при которой её наблюдаемая длина стала не более 16 метров, должна составлять не менее ( 180000 ) км/с.
