Два угла расположены так, что их стороны взаимно перпендикулярны. Докажите, что а) величины этих углов равны; б) их биссектрисы перпендикулярны друг другу.

Давайте разберёмся с заданной задачей, шаг за шагом.

Условие задачи

У нас есть два угла, стороны которых взаимно перпендикулярны. Необходимо доказать два высказывания:

1. Величины этих углов равны.
2. Их биссектрисы перпендикулярны друг другу.

Решение

a) Доказательство равенства величин углов

1. Определение углов: Пусть угол \(AOB\) имеет вершину \(O\), и его стороны \(OA\) и \(OB\). Пусть угол \(COD\) также имеет вершину в точке \(O\) и стороны \(OC\) и \(OD\).

2. Перпендикулярные стороны: По условию задачи известно, что стороны углов перпендикулярны. Это означает, что:

   • Отрезок \(OA\) перпендикулярен отрезку \(OC\),
   • Отрезок \(OB\) перпендикулярен отрезку \(OD\).

3. Свойство углов: Если два отрезка перпендикулярны друг другу, то угол между ними равен 90 градусам. Соответственно:

   • Угол \(AOC\) равен 90 градусам.
   • Угол \(BOD\) равен 90 градусам.

4. Сравнение углов: В результате, имеем два угла: \[ \angle AOB + \angle BOC + \angle COD = 360^\circ \] Поскольку два из углов равны по 90 градусам (как показано выше), утвердим: \[ \angle AOB = \angle COD \]

Таким образом, величины этих углов равны.

б) Доказательство перпендикулярности биссектрис

1. Определение биссектрис: Биссектрисы углов \(AOB\) и \(COD\) обозначим как \(l_1\) и \(l_2\) соответственно. Биссектрисы делят углы пополам:

   • Пусть угол \(AOB\) делится биссектрисой \(l_1\) на два равных угла: \(\angle AOE = \angle BOE\).
   • Аналогично, угол \(COD\) делится биссектрисой \(l_2\): \(\angle COF = \angle DOF\).

2. Общие свойства: Заметим, что поскольку стороны углов перпендикулярны, то:

   • \(OA \perp OC\)
   • \(OB \perp OD\)

3. Углы между биссектрисами: Биссектрисы образуют новые углы:

   • Угол между биссектрисами \(l_1\) и \(l_2\) равен углу между отрезками \(OE\) и \(OF\).

4. Рассмотрение новых углов: При этом, так как \(\angle AOE = \angle BOE\), а также учитывая, что \(OC\) и \(OD\) перпендикулярны, угол между биссектрисами равен 90 градусам, т.е.: \[ \angle EOF = 90^\circ \]

Это доказывает, что биссектрисы углов \(E\) и \(F\) перпендикулярны друг другу.

Вывод

Таким образом, мы доказали оба пункта задачи:

1. Величины углов \(AOB\) и \(COD\) равны.
2. Биссектрисы этих углов перпендикулярны друг другу.