Два угла расположены так, что их стороны взаимно перпендикулярны. Докажите, что а) величины этих углов равны; б) их биссектрисы перпендикулярны друг другу.

Давайте разберёмся с заданной задачей, шаг за шагом. ### Условие задачи У нас есть два угла, стороны которых взаимно перпендикулярны. Необходимо доказать два высказывания: 1. Величины этих углов равны. 2. Их биссектрисы перпендикулярны друг другу. ### Решение #### a) Доказательство равенства величин углов 1. **Определение углов:** Пусть угол \(AOB\) имеет вершину \(O\), и его стороны \(OA\) и \(OB\). Пусть угол \(COD\) также имеет вершину в точке \(O\) и стороны \(OC\) и \(OD\). 2. **Перпендикулярные стороны:** По условию задачи известно, что стороны углов перпендикулярны. Это означает, что: - Отрезок \(OA\) перпендикулярен отрезку \(OC\), - Отрезок \(OB\) перпендикулярен отрезку \(OD\). 3. **Свойство углов:** Если два отрезка перпендикулярны друг другу, то угол между ними равен 90 градусам. Соответственно: - Угол \(AOC\) равен 90 градусам. - Угол \(BOD\) равен 90 градусам. 4. **Сравнение углов:** В результате, имеем два угла: \[ \angle AOB + \angle BOC + \angle COD = 360^\circ \] Поскольку два из углов равны по 90 градусам (как показано выше), утвердим: \[ \angle AOB = \angle COD \] Таким образом, величины этих углов равны. #### б) Доказательство перпендикулярности биссектрис 1. **Определение биссектрис:** Биссектрисы углов \(AOB\) и \(COD\) обозначим как \(l_1\) и \(l_2\) соответственно. Биссектрисы делят углы пополам: - Пусть угол \(AOB\) делится биссектрисой \(l_1\) на два равных угла: \(\angle AOE = \angle BOE\). - Аналогично, угол \(COD\) делится биссектрисой \(l_2\): \(\angle COF = \angle DOF\). 2. **Общие свойства:** Заметим, что поскольку стороны углов перпендикулярны, то: - \(OA \perp OC\) - \(OB \perp OD\) 3. **Углы между биссектрисами:** Биссектрисы образуют новые углы: - Угол между биссектрисами \(l_1\) и \(l_2\) равен углу между отрезками \(OE\) и \(OF\). 4. **Рассмотрение новых углов:** При этом, так как \(\angle AOE = \angle BOE\), а также учитывая, что \(OC\) и \(OD\) перпендикулярны, угол между биссектрисами равен 90 градусам, т.е.: \[ \angle EOF = 90^\circ \] Это доказывает, что биссектрисы углов \(E\) и \(F\) перпендикулярны друг другу. ### Вывод Таким образом, мы доказали оба пункта задачи: 1. Величины углов \(AOB\) и \(COD\) равны. 2. Биссектрисы этих углов перпендикулярны друг другу.