Функции ф от икс равно 12 икс - икс в кубе на отрезке - 3 - 1

Чтобы понять, как работает данная функция и как её анализировать на заданном отрезке, давайте разберёмся с функцией и выполним необходимые шаги. **Функция:** Мы имеем функцию \( f(x) = 12x - x^3 \). **Отрезок:** Мы будем рассматривать её на отрезке \( x \in [-3, -1] \). ### Шаг 1: Исследование функции #### 1.1. Определение типа функции Функция \( f(x) = 12x - x^3 \) — это полиномиальная функция третьей степени, потому что высший член имеет степень 3. #### 1.2. Найдем производную Для исследования функции полезно найти её производную, чтобы понять, где функция возрастает, убывает и где находятся её экстремумы. \[ f'(x) = \frac{d}{dx}(12x - x^3) = 12 - 3x^2 \] #### 1.3. Нахождение критических точек Чтобы найти критические точки (точки, где функция может иметь локальные максимумы или минимумы), приравняем производную к нулю: \[ 12 - 3x^2 = 0 \] \[ 3x^2 = 12 \] \[ x^2 = 4 \quad \Rightarrow \quad x = 2 \quad \text{или} \quad x = -2 \] Из этих значений только \( x = -2 \) лежит в заданном отрезке \( [-3, -1] \). ### Шаг 2: Вычисление значений функции на границах отрезка и в критической точке Теперь найдем значения функции на границах отрезка и в критической точке. #### 2.1. При \( x = -3 \): \[ f(-3) = 12(-3) - (-3)^3 = -36 + 27 = -9 \] #### 2.2. При \( x = -2 \): \[ f(-2) = 12(-2) - (-2)^3 = -24 + 8 = -16 \] #### 2.3. При \( x = -1 \): \[ f(-1) = 12(-1) - (-1)^3 = -12 + 1 = -11 \] ### Шаг 3: Сравнение значений Теперь сравним значения функции, полученные на границах и в критической точке: - \( f(-3) = -9 \) - \( f(-2) = -16 \) - \( f(-1) = -11 \) ### Шаг 4: Вывод На отрезке \( [-3, -1] \) функция имеет: - Максимальное значение \( -9 \) на границе \( x = -3 \) - Минимальное значение \( -16 \) на \( x = -2 \) Таким образом, на заданном отрезке функция \( f(x) = 12x - x^3 \) убывает на интервале и имеет максимум в \( x = -3 \) и минимум в \( x = -2 \).