функции ф от икс равно 12 икс - икс в кубе на отрезке - 3 - 1
Чтобы понять, как работает данная функция и как её анализировать на заданном отрезке, давайте разберёмся с функцией и выполним необходимые шаги.
Функция:
Мы имеем функцию \( f(x) = 12x - x^3 \).
Отрезок:
Мы будем рассматривать её на отрезке \( x \in [-3, -1] \).
Шаг 1: Исследование функции
1.1. Определение типа функции
Функция \( f(x) = 12x - x^3 \) — это полиномиальная функция третьей степени, потому что высший член имеет степень 3.
1.2. Найдем производную
Для исследования функции полезно найти её производную, чтобы понять, где функция возрастает, убывает и где находятся её экстремумы.
\[ f'(x) = \frac{d}{dx}(12x - x^3) = 12 - 3x^2 \]
1.3. Нахождение критических точек
Чтобы найти критические точки (точки, где функция может иметь локальные максимумы или минимумы), приравняем производную к нулю:
\[ 12 - 3x^2 = 0 \] \[ 3x^2 = 12 \] \[ x^2 = 4 \quad \Rightarrow \quad x = 2 \quad \text{или} \quad x = -2 \]
Из этих значений только \( x = -2 \) лежит в заданном отрезке \( [-3, -1] \).
Шаг 2: Вычисление значений функции на границах отрезка и в критической точке
Теперь найдем значения функции на границах отрезка и в критической точке.
2.1. При \( x = -3 \):
\[ f(-3) = 12(-3) - (-3)^3 = -36 + 27 = -9 \]
2.2. При \( x = -2 \):
\[ f(-2) = 12(-2) - (-2)^3 = -24 + 8 = -16 \]
2.3. При \( x = -1 \):
\[ f(-1) = 12(-1) - (-1)^3 = -12 + 1 = -11 \]
Шаг 3: Сравнение значений
Теперь сравним значения функции, полученные на границах и в критической точке:
- \( f(-3) = -9 \)
- \( f(-2) = -16 \)
- \( f(-1) = -11 \)
Шаг 4: Вывод
На отрезке \( [-3, -1] \) функция имеет:
- Максимальное значение \( -9 \) на границе \( x = -3 \)
- Минимальное значение \( -16 \) на \( x = -2 \)
Таким образом, на заданном отрезке функция \( f(x) = 12x - x^3 \) убывает на интервале и имеет максимум в \( x = -3 \) и минимум в \( x = -2 \).
