Чтобы решить систему линейных уравнений:
- ( 2x + y = 12 )
- ( 7x - 2y = 31 )
мы будем использовать метод подстановки или метод последовательного исключения. В этом случае я покажу метод подстановки.
Шаг 1: Изолируем одну переменную
Начнем с первого уравнения и выразим переменную ( y ) через ( x ):
[
2x + y = 12
]
Выразим ( y ):
[
y = 12 - 2x
]
Шаг 2: Подставляем это выражение во второе уравнение
Теперь подставим найденное значение ( y ) во второе уравнение:
[
7x - 2(12 - 2x) = 31
]
Раскроем скобки:
[
7x - 24 + 4x = 31
]
Теперь объединим похожие слагаемые:
[
11x - 24 = 31
]
Шаг 3: Изолируем переменную ( x )
Теперь добавим 24 к обеим сторонам уравнения:
[
11x = 31 + 24
]
[
11x = 55
]
Делим обе стороны на 11:
[
x = 5
]
Шаг 4: Находим значение переменной ( y )
Теперь, когда мы нашли ( x ), подставим его обратно в выражение для ( y ):
[
y = 12 - 2(5)
]
[
y = 12 - 10
]
[
y = 2
]
Шаг 5: Записываем ответ
Теперь у нас есть значения переменных ( x ) и ( y ):
[
x = 5, \quad y = 2
]
Таким образом, решением системы уравнений является пара ( (x, y) = (5, 2) ).
Шаг 6: Проверка
Для уверенности, давайте проверим наши ответы, подставив найденные значения в обе исходные уравнения:
- Первое уравнение:
[
2(5) + 2 = 10 + 2 = 12 \quad \text{(верно)}
]
- Второе уравнение:
[
7(5) - 2(2) = 35 - 4 = 31 \quad \text{(верно)}
]
Оба уравнения выполняются, значит, решение верное.
Ответ:
( x = 5, y = 2 )
