Два угла расположены так, что их стороны взаимно перпендикулярны. Докажите, что а) величины этих углов равны; б) их биссектрисы перпендикулярны друг другу.

Рассмотрим задачу, в которой нам нужно доказать два пункта о двух углах, стороны которых взаимно перпендикулярны.

Обозначения

Обозначим углы как \( \angle AOB \) и \( \angle COD \), где:

• \( O \) — точка пересечения сторон углов.
• Стороны угла \( AOB \) обозначим как \( OA \) и \( OB \).
• Стороны угла \( COD \) обозначим как \( OC \) и \( OD \).

Доказательство пункта а)

Пункт а): Доказать, что величины этих углов равны.

1. Поскольку стороны углов \( OA \) и \( OB \) перпендикулярны к сторонам угла \( OC \) и \( OD \), это означает, что \( OA \perp OC \) и \( OB \perp OD \).
2. Следовательно, угол \( AOC \) составляет 90° (это угол между стороной \( OA \) угла \( AOB \) и стороной \( OC \) угла \( COD \)) и угол \( BOD \) также равен 90° (это угол между стороной \( OB \) угла \( AOB \) и стороной \( OD \) угла \( COD \)).
3. Теперь, так как \( OA \) и \( OB \) равны по своей геометрической организации, то: \[ \angle AOB + \angle COD = 90° + 90° = 180°. \]
4. Таким образом, эти два угла не только равны, но и составляют полный круг (180°), значит: \[ \angle AOB = \angle COD. \]

Вывод: Величины углов равны.

Доказательство пункта б)

Пункт б): Доказать, что их биссектрисы перпендикулярны друг другу.

1. Обозначим биссектрисы углов \( \angle AOB \) и \( \angle COD \) как \( l_1 \) и \( l_2 \) соответственно. Биссектрисы углов делят углы пополам.
2. Поскольку углы \( \angle AOB = \angle COD \), то их биссектрисы также будут равны по углам: \[ \angle AOM = \angle MOC \quad (\text{где } M \text{ — точка на биссектрисе } l_1) \] \[ \angle BOP = \angle POD \quad (\text{где } P \text{ — точка на биссектрисе } l_2). \]
3. Поскольку \( OA \perp OC \) и \( OB \perp OD \), это означает, что биссектрисы \( l_1 \) и \( l_2 \) пересекаются под углом 90°.
4. Таким образом, углы между биссектрисами составляют \( 90° \), что и требуется доказать.

Вывод: Биссектрисы углов перпендикулярны друг другу.

Заключение

Теперь мы доказали оба пункта задачи: величины углов равны, и биссектрисы этих углов перпендикулярны.