Найди наибольшее и наименьшее значения степенной функции y=x^1/3 на луче [0; +бесконечность)

Чтобы найти наибольшее и наименьшее значения степенной функции \( y = x^{1/3} \) на интервале \( [0; +\infty) \), давайте разберёмся с этой функцией более подробно.

Шаг 1: Понимание функции

Функция \( y = x^{1/3} \) представляет собой кубический корень из \( x \). Это означает, что при увеличении \( x \) значение функции также будет расти. Давайте рассмотрим, что происходит на заданном интервале.

Шаг 2: Определение значений на границе

На границе интервала (в точке 0):

• Подставляем \( x = 0 \): \[ y = 0^{1/3} = 0 \]

При переходе к бесконечности:

• Подставляем \( x \to +\infty \): \[ y \to +\infty \]

Таким образом, мы видим, что как минимум одно значение, которое мы нашли, равно \( 0 \) в \( x = 0 \), а \( y \) стремится к бесконечности по мере увеличения \( x \).

Шаг 3: Нахождение экстремумов

Для анализа функции также можно найти её производную: \[ y' = \frac{d}{dx}(x^{1/3}) = \frac{1}{3} x^{-2/3} \]

Анализ производной

• \( y' \) определена при \( x > 0 \) и равна нулю только при \( x = 0 \) (но на интервале от 0 до +∞ мы не считаем эту точку критической в контексте нахождения максимума или минимума, а просто понимаем, что производная положительна для \( x > 0 \)).
• Это значит, что функция \( y = x^{1/3} \) является возрастающей на интервале \( (0; +\infty) \).

Шаг 4: Вывод

Теперь подытожим значения:

• Наименьшее значение функции на интервале \( [0; +\infty) \) достигается в точке \( x = 0 \) и равно \( y = 0 \).
• Наибольшее значение функции не имеет верхней границы, поскольку \( y \) стремится к бесконечности при \( x \to +\infty \).

Ответ

• Наименьшее значение: \( 0 \) (при \( x = 0 \)).
• Наибольшее значение: \( +\infty \) (при \( x \to +\infty \)).