Катер и теплоход следуют по одному маршруту против течения реки. В стоячей воде скорость катера в 4 раза больше скорости теплохода, а на весь маршрут он тратит в 5 раз меньше…

Давайте разберем эту задачу пошагово.

1. Обозначим известные значения:

   • Пусть скорость теплохода в стоячей воде равна \( v \) (время в часах, скорость в км/ч).
   • Тогда скорость катера в стоячей воде будет равна \( 4v \) (так как она в 4 раза больше, чем у теплохода).
   • Обозначим скорость течения реки как \( c \).

2. Анализ скоростей против течения:

   • При движении против течения, скорость теплохода составит \( v - c \).
   • Скорость катера против течения будет составлять \( 4v - c \).

3. Отношение времени на маршрут:

   • Обозначим длину маршрута как \( L \).
   • Время, затраченное теплоходом на маршрут, можно выразить как \( \frac{L}{v - c} \).
   • Время, затраченное катером на тот же маршрут, составит \( \frac{L}{4v - c} \).

4. Соотношение времени:

   • По условию задачи, время, затраченное катером, в 5 раз меньше времени теплохода: \[ \frac{L}{4v - c} = \frac{1}{5} \cdot \frac{L}{v - c} \]

5. Упростим уравнение:

   • Убираем \( L \) (если \( L \neq 0 \)): \[ \frac{1}{4v - c} = \frac{1}{5(v - c)} \]
   • Перекрестно перемножим: \[ 5(1) = (4v - c)(1) \]
   • Получаем уравнение: \[ 5 = 4v - c \]
   • Отсюда выражаем \( c \): \[ c = 4v - 5 \]

6. Находим отношение скорости теплохода к скорости течения:

   • Теперь нам нужно найти отношение \( \frac{v}{c} \): \[ \frac{v}{c} = \frac{v}{4v - 5} \]

7. Упрощение этого отношения:

   • Чтобы упростить, подставим \( c \) в выражение: \[ \frac{v}{4v - 5} \]

8. Итог:

   • Мы можем оставить ответ в таком виде, но более наглядно можно записать:
   • Отношение скорости теплохода к скорости течения реки: \[ \frac{v}{c} = \frac{v}{4v - 5} \]

9. Вывод:

   • После подстановки разных значений для \( v \) можно найти конкретные численные значения при условии, что \( 4v - 5 > 0 \) (т.е. скорость течения должна быть меньше чем \( 4v \)).
   • Например, если взять \( v = 3 \) (при этом \( c = 4*3 - 5 = 7 \)), то получаем \( \frac{3}{7} \).

Итак, мы нашли и выразили отношение скорости теплохода в стоячей воде к скорости течения реки. Вы также можете взять конкретное значение, чтобы проверить, выполняется ли условие.