доказать неравенство

Давайте подробно разберем каждое из неравенств по очереди.

a) \( 2(a + 1) + a < 3(a + 3) \)

1. Раскрой скобки:

   \[ 2(a + 1) = 2a + 2 \]

   \[ 3(a + 3) = 3a + 9 \]

2. Подставь раскрытые выражения в исходное неравенство:

   \[ 2a + 2 + a < 3a + 9 \]

3. Сложи похожие члены:

   \[ 3a + 2 < 3a + 9 \]

4. Вычти \(3a\) из обеих частей:

   \[ 2 < 9 \]

Неравенство верно.

б) \((x - 3)(x - 5) < (x - 4)^2\)

1. Раскрой скобки слева:

   \[ (x - 3)(x - 5) = x^2 - 5x - 3x + 15 = x^2 - 8x + 15 \]

2. Раскрой скобки справа:

   \[ (x - 4)^2 = x^2 - 8x + 16 \]

3. Подставь, что получилось, в неравенство:

   \[ x^2 - 8x + 15 < x^2 - 8x + 16 \]

4. Вырази это, убрав \(x^2 - 8x\) из обеих частей:

   \[ 15 < 16 \]

Неравенство верно.

в) \((y + 5)^2 - y(y + 10) > 0\)

1. Раскрой скобки:

   \[ (y + 5)^2 = y^2 + 10y + 25 \]

   \[ y(y + 10) = y^2 + 10y \]

2. Подставь, что получилось:

   \[ y^2 + 10y + 25 - (y^2 + 10y) > 0 \]

3. Сократи выражение:

   \[ 25 > 0 \]

Неравенство верно.

Таким образом, все три неравенства доказаны.