Периметр прямоугольника равен 22 см, а его площадь -24 см найдите длины сторон прямоугольника

Для решения задачи о нахождении длин сторон прямоугольника с заданным периметром и площадью, давайте обозначим стороны прямоугольника как \( a \) и \( b \).

Шаг 1: Составление уравнений

1. Периметр прямоугольника: Формула периметра \( P \) прямоугольника: \[ P = 2(a + b) \] По условию задачи, периметр равен 22 см: \[ 2(a + b) = 22 \] Разделим обе стороны на 2: \[ a + b = 11 \quad (1) \]

2. Площадь прямоугольника: Формула площади \( S \) прямоугольника: \[ S = a \times b \] По условию задачи, площадь равна 24 см²: \[ a \times b = 24 \quad (2) \]

Шаг 2: Решение системы уравнений

Теперь у нас есть система уравнений:

1. \( a + b = 11 \)
2. \( a \times b = 24 \)

Подставляем \( b \) из первого уравнения во второе

Из уравнения (1) выразим \( b \): \[ b = 11 - a \]

Теперь подставим это значение в уравнение (2): \[ a \times (11 - a) = 24 \]

Раскроем скобки:

\[ 11a - a^2 = 24 \] Перепишем уравнение в стандартном виде: \[ -a^2 + 11a - 24 = 0 \] Умножим обе стороны на -1, чтобы избавиться от отрицательного коэффициента: \[ a^2 - 11a + 24 = 0 \]

Шаг 3: Решение квадратного уравнения

Теперь решим квадратное уравнение \( a^2 - 11a + 24 = 0 \). Можно воспользоваться дискриминантом: \[ D = b^2 - 4ac = (-11)^2 - 4 \cdot 1 \cdot 24 = 121 - 96 = 25 \]

Так как дискриминант положительный, у уравнения есть два различных корня. Используя формулу корней квадратного уравнения: \[ a = \frac{-b \pm \sqrt{D}}{2a} \] Подставим значения: \[ a = \frac{11 \pm \sqrt{25}}{2} = \frac{11 \pm 5}{2} \]

Найдем корни:

1. \( a_1 = \frac{16}{2} = 8 \)
2. \( a_2 = \frac{6}{2} = 3 \)

Шаг 4: Определение сторон \( a \) и \( b \)

Таким образом, у нас есть:

• Если \( a = 8 \), то \( b = 11 - 8 = 3 \).
• Если \( a = 3 \), то \( b = 11 - 3 = 8 \).

Результат: Длины сторон прямоугольника составляют 8 см и 3 см.

Итог:

Стороны прямоугольника равны 8 см и 3 см.