Y= x²+25/x на отрезке [-10;1]

Давайте разберёмся с заданной функцией \( y = x^2 + \frac{25}{x} \) на отрезке \( [-10; 1] \). ### Шаг 1: Определим область определения функции Для того чтобы понять, где функция определена, необходимо учитывать, что дробь \( \frac{25}{x} \) не определена при \( x = 0 \). Таким образом, область определения функции будет: \[ D = [-10; 0) \cup (0; 1] \] ### Шаг 2: Находим производную функции Для дальнейшего анализа функции, нам нужно найти её производную: 1. Производная первого слагаемого \( x^2 \) равна \( 2x \). 2. Для второго слагаемого \( \frac{25}{x} \) можем использовать правило для производной дроби: \[ \frac{d}{dx} \left( \frac{25}{x} \right) = -\frac{25}{x^2} \] Таким образом, производная функции: \[ y' = 2x - \frac{25}{x^2} \] ### Шаг 3: Находим критические точки Чтобы найти критические точки, приравняем производную к нулю: \[ 2x - \frac{25}{x^2} = 0 \] Умножим обе стороны уравнения на \( x^2 \) (при \( x \neq 0 \)): \[ 2x^3 - 25 = 0 \\ 2x^3 = 25 \\ x^3 = 12.5 \\ x = \sqrt[3]{12.5} \approx 2.29 \] Однако, \( x = 2.29 \) не попадает в область определения на отрезке \( [-10; 1] \). Мы должны проверить только точки на границах и в области \( D \). ### Шаг 4: Вычисляем значения функции на границах Теперь посчитаем значения функции на границах и в нескольких точках отрезка: 1. \( x = -10 \): \[ y(-10) = (-10)^2 + \frac{25}{-10} = 100 - 2.5 = 97.5 \] 2. \( x = -1 \): \[ y(-1) = (-1)^2 + \frac{25}{-1} = 1 - 25 = -24 \] 3. \( x = 1 \): \[ y(1) = (1)^2 + \frac{25}{1} = 1 + 25 = 26 \] ### Шаг 5: Подведем итоги Теперь у нас есть значения функции на границах отрезка и важно отметить, что в точке \( x = 0 \) функция не определена. Полученные значения: - \( y(-10) = 97.5 \) - \( y(-1) = -24 \) - \( y(1) = 26 \) #### Результаты 1. Функция на отрезке \( [-10; 1] \) достигает максимума в \( x = -10 \approx 97.5 \) и минимума в \( x = -1 \approx -24 \). 2. В точке \( x = 1 \) значение функции составляет \( 26 \). Таким образом, вы можете увидеть, что функции следует вести себя по-разному в различных секциях области определения. Если у вас есть дополнительные вопросы или нужно прояснить что-то, дайте знать!