y= x²+25/x на отрезке [-10;1]
Давайте разберёмся с заданной функцией \( y = x^2 + \frac{25}{x} \) на отрезке \( [-10; 1] \).
Шаг 1: Определим область определения функции
Для того чтобы понять, где функция определена, необходимо учитывать, что дробь \( \frac{25}{x} \) не определена при \( x = 0 \). Таким образом, область определения функции будет:
\[ D = [-10; 0) \cup (0; 1] \]
Шаг 2: Находим производную функции
Для дальнейшего анализа функции, нам нужно найти её производную:
- Производная первого слагаемого \( x^2 \) равна \( 2x \).
- Для второго слагаемого \( \frac{25}{x} \) можем использовать правило для производной дроби:
\[ \frac{d}{dx} \left( \frac{25}{x} \right) = -\frac{25}{x^2} \]
Таким образом, производная функции:
\[ y' = 2x - \frac{25}{x^2} \]
Шаг 3: Находим критические точки
Чтобы найти критические точки, приравняем производную к нулю:
\[ 2x - \frac{25}{x^2} = 0 \]
Умножим обе стороны уравнения на \( x^2 \) (при \( x \neq 0 \)):
\[ 2x^3 - 25 = 0 \\ 2x^3 = 25 \\ x^3 = 12.5 \\ x = \sqrt[3]{12.5} \approx 2.29 \]
Однако, \( x = 2.29 \) не попадает в область определения на отрезке \( [-10; 1] \). Мы должны проверить только точки на границах и в области \( D \).
Шаг 4: Вычисляем значения функции на границах
Теперь посчитаем значения функции на границах и в нескольких точках отрезка:
- \( x = -10 \):
\[ y(-10) = (-10)^2 + \frac{25}{-10} = 100 - 2.5 = 97.5 \]
- \( x = -1 \):
\[ y(-1) = (-1)^2 + \frac{25}{-1} = 1 - 25 = -24 \]
- \( x = 1 \):
\[ y(1) = (1)^2 + \frac{25}{1} = 1 + 25 = 26 \]
Шаг 5: Подведем итоги
Теперь у нас есть значения функции на границах отрезка и важно отметить, что в точке \( x = 0 \) функция не определена. Полученные значения:
- \( y(-10) = 97.5 \)
- \( y(-1) = -24 \)
- \( y(1) = 26 \)
Результаты
- Функция на отрезке \( [-10; 1] \) достигает максимума в \( x = -10 \approx 97.5 \) и минимума в \( x = -1 \approx -24 \).
- В точке \( x = 1 \) значение функции составляет \( 26 \).
Таким образом, вы можете увидеть, что функции следует вести себя по-разному в различных секциях области определения. Если у вас есть дополнительные вопросы или нужно прояснить что-то, дайте знать!
Обсуждение
2 сообщенияy=x+36/x на отрезке [1;9]
Давайте проанализируем заданную функцию \( y = x + \frac{36}{x} \) на отрезке \( [1; 9] \).
Шаг 1: Область определения функции
Функция \( y \) определена для всех \( x \neq 0 \). На отрезке \( [1; 9] \) она полностью определена, так как все значения \( x \) положительны.
Шаг 2: Находим производную функции
Для анализа поведения функции на данном отрезке, найдем её производную:
\[ y' = 1 - \frac{36}{x^2} \]
Шаг 3: Находим критические точки
Приравняем производную к нулю для нахождения критических точек:
\[ 1 - \frac{36}{x^2} = 0 \]
Переносим \( \frac{36}{x^2} \) в правую часть:
\[ \frac{36}{x^2} = 1 \]
Теперь умножим обе стороны на \( x^2 \):
\[ 36 = x^2 \\ x = 6 \]
Шаг 4: Проверяем, попадает ли \( x = 6 \) в отрезок
Критическая точка \( x = 6 \) лежит внутри отрезка \( [1; 9] \).
Шаг 5: Вычисляем значения функции
Теперь вычислим значения функции в границах отрезка и в критической точке:
- На границе \( x = 1 \):
\[ y(1) = 1 + \frac{36}{1} = 1 + 36 = 37 \]
- На критической точке \( x = 6 \):
\[ y(6) = 6 + \frac{36}{6} = 6 + 6 = 12 \]
- На границе \( x = 9 \):
\[ y(9) = 9 + \frac{36}{9} = 9 + 4 = 13 \]
Шаг 6: Подводим итоги
Теперь у нас есть значения функции:
- \( y(1) = 37 \)
- \( y(6) = 12 \)
- \( y(9) = 13 \)
Результаты
- Минимум функции \( y \) на отрезке \( [1; 9] \) достигается в точке \( x = 6 \) и равен \( 12 \).
- Максимум функции достигается в точке \( x = 1 \) и равен \( 37 \).
Если у вас есть дополнительные вопросы или что-то нужно уточнить, дайте знать!
