y=x+36/x [1;9]
Для решения уравнения \( y = x + \frac{36}{x} \) на интервале \( [1; 9] \), давайте проведём анализ функции и найдем точки её минимума и максимума.
Шаг 1: Определение функции
Функция задана как: \[ y = x + \frac{36}{x} \]
Шаг 2: Находим производную
Чтобы найти экстремумы функции (минимумы и максимумы), необходимо найти первую производную \( y' \): \[ y' = 1 - \frac{36}{x^2} \]
Шаг 3: Нахождение критических точек
Приравняем производную к нулю для нахождения критических точек: \[ 1 - \frac{36}{x^2} = 0 \] \[ \frac{36}{x^2} = 1 \] \[ 36 = x^2 \] \[ x = 6 \quad (\text{так как } x > 0) \]
Шаг 4: Анализ функции на интервале \([1; 9]\)
Теперь мы изучим поведение функции на интервале \([1; 9]\):
- Вычислим значение функции в критической точке \( x = 6 \).
- Так же найдём значения функции на границах интервала \( x = 1 \) и \( x = 9 \).
Вычисления:
\( y(1) \): \[ y(1) = 1 + \frac{36}{1} = 1 + 36 = 37 \]
\( y(6) \): \[ y(6) = 6 + \frac{36}{6} = 6 + 6 = 12 \]
\( y(9) \): \[ y(9) = 9 + \frac{36}{9} = 9 + 4 = 13 \]
Шаг 5: Сравнение значений
Теперь у нас есть:
- \( y(1) = 37 \)
- \( y(6) = 12 \)
- \( y(9) = 13 \)
Сравнения показывают, что:
- Значение функции \( y \) достигает минимума в точке \( x = 6 \), где \( y = 12 \).
- Значение функции \( y \) достигает максимума на границе интервала в точке \( x = 1 \), где \( y = 37 \).
Ответ
Таким образом, на интервале \( [1; 9] \):
- Минимум \( y = 12 \) при \( x = 6 \)
- Максимум \( y = 37 \) при \( x = 1 \)
Эти шаги помогут вам понять, как анализировать функции и находить их экстремумы на заданных интервалах. Если будут еще вопросы или нужна дополнительная помощь, не стесняйтесь спрашивать!
