если от двузначного числа отнять произведение его цифр, то получится 25. Найди это двухзначнное число, если известно, что оно в 5 раз больше суммы своих чисел.
Для решения задачи, давайте обозначим двузначное число как \( 10a + b \), где \( a \) — это десятки, а \( b \) — единицы. Значит, \( a \) может принимать значения от 1 до 9, а \( b \) — от 0 до 9.
Условия задачи:
Если от двузначного числа отнять произведение его цифр, то получится 25: \[ (10a + b) - ab = 25 \] Упрощая это уравнение, получаем: \[ 10a + b - ab = 25 \quad \text{(1)} \]
Двухзначное число в 5 раз больше суммы своих цифр: \[ 10a + b = 5(a + b) \] Раскроем скобки: \[ 10a + b = 5a + 5b \] Упрощаем: \[ 10a - 5a = 5b - b \] Это приводит к: \[ 5a = 4b \] Или: \[ a = \frac{4b}{5} \quad \text{(2)} \]
Теперь подставим (2) в (1):
Мы можем выразить \( a \) через \( b \): \[ a = \frac{4b}{5} \] Подставим в уравнение (1): \[ 10 \left(\frac{4b}{5}\right) + b - \left(\frac{4b}{5}\right)b = 25 \]
Упростим: \[ 8b + b - \frac{4b^2}{5} = 25 \] Это упростится в: \[ 9b - \frac{4b^2}{5} = 25 \] Умножим все на 5, чтобы избавиться от дроби: \[ 45b - 4b^2 = 125 \] Перепишем в стандартной форме: \[ 4b^2 - 45b + 125 = 0 \]
Теперь решим это квадратное уравнение с помощью дискриминанта: \[ D = b^2 - 4ac = (-45)^2 - 4 \cdot 4 \cdot 125 \] \[ D = 2025 - 2000 = 25 \]
Теперь находим корни уравнения: \[ b = \frac{-(-45) \pm \sqrt{25}}{2 \cdot 4} = \frac{45 \pm 5}{8} \] Вычислим два возможных значения для \( b \):
- \( b = \frac{50}{8} = 6.25 \) (не подходит, так как \( b \) должно быть целым числом)
- \( b = \frac{40}{8} = 5 \)
Теперь, когда мы нашли \( b = 5 \), подставим это значение в (2): \[ a = \frac{4 \cdot 5}{5} = 4 \]
Таким образом, цифры нашего двузначного числа:
- \( a = 4 \)
- \( b = 5 \)
Следовательно, искомое двузначное число: \[ 10a + b = 10 \cdot 4 + 5 = 40 + 5 = 45 \]
Проверим условия задачи:
- \( 45 - (4 \cdot 5) = 45 - 20 = 25 \) (выполняется)
- \( 45 = 5(4 + 5) = 5 \cdot 9 = 45 \) (выполняется)
Таким образом, двузначное число — 45.
