Для решения задачи, давайте обозначим двузначное число как ( 10a + b ), где ( a ) — это десятки, а ( b ) — единицы. Значит, ( a ) может принимать значения от 1 до 9, а ( b ) — от 0 до 9.
Условия задачи:
Если от двузначного числа отнять произведение его цифр, то получится 25:
[
(10a + b) - ab = 25
]
Упрощая это уравнение, получаем:
[
10a + b - ab = 25 \quad \text{(1)}
]
Двухзначное число в 5 раз больше суммы своих цифр:
[
10a + b = 5(a + b)
]
Раскроем скобки:
[
10a + b = 5a + 5b
]
Упрощаем:
[
10a - 5a = 5b - b
]
Это приводит к:
[
5a = 4b
]
Или:
[
a = \frac{4b}{5} \quad \text{(2)}
]
Теперь подставим (2) в (1):
Мы можем выразить ( a ) через ( b ):
[
a = \frac{4b}{5}
]
Подставим в уравнение (1):
[
10 \left(\frac{4b}{5}\right) + b - \left(\frac{4b}{5}\right)b = 25
]
Упростим:
[
8b + b - \frac{4b^2}{5} = 25
]
Это упростится в:
[
9b - \frac{4b^2}{5} = 25
]
Умножим все на 5, чтобы избавиться от дроби:
[
45b - 4b^2 = 125
]
Перепишем в стандартной форме:
[
4b^2 - 45b + 125 = 0
]
Теперь решим это квадратное уравнение с помощью дискриминанта:
[
D = b^2 - 4ac = (-45)^2 - 4 \cdot 4 \cdot 125
]
[
D = 2025 - 2000 = 25
]
Теперь находим корни уравнения:
[
b = \frac{-(-45) \pm \sqrt{25}}{2 \cdot 4} = \frac{45 \pm 5}{8}
]
Вычислим два возможных значения для ( b ):
- ( b = \frac{50}{8} = 6.25 ) (не подходит, так как ( b ) должно быть целым числом)
- ( b = \frac{40}{8} = 5 )
Теперь, когда мы нашли ( b = 5 ), подставим это значение в (2):
[
a = \frac{4 \cdot 5}{5} = 4
]
Таким образом, цифры нашего двузначного числа:
Следовательно, искомое двузначное число:
[
10a + b = 10 \cdot 4 + 5 = 40 + 5 = 45
]
Проверим условия задачи:
- ( 45 - (4 \cdot 5) = 45 - 20 = 25 ) (выполняется)
- ( 45 = 5(4 + 5) = 5 \cdot 9 = 45 ) (выполняется)
Таким образом, двузначное число — 45.
