Даны координаты вершин треугольника ABC, A(-2, 3 ), B(2, 5), C(0, 1). Найти: 1) уравнения сторон треугольника; 2) уравнение высоты, опущенной из вершины С на сторону АВ; 3) уравнение медианы к стороне АС; 4) угол А; 5) сделать чертеж в системе декартовой координат Оху.

Давайте разберем задачу по шагам. ### 1. Уравнения сторон треугольника Для начала найдем уравнения линий, которые соединяют каждую пару вершин треугольника. Для этого воспользуемся формулой параметрического уравнения прямой, проходящей через две точки \((x_1, y_1)\) и \((x_2, y_2)\): \[ y - y_1 = m(x - x_1) \] где \( m \) — угловой коэффициент, который рассчитывается как: \[ m = \frac{y_2 - y_1}{x_2 - x_1} \] #### Сторона AB - \( A(-2, 3) \), \( B(2, 5) \) \[ m_{AB} = \frac{5 - 3}{2 - (-2)} = \frac{2}{4} = \frac{1}{2} \] Теперь подставим в формулу уравнения: \[ y - 3 = \frac{1}{2}(x + 2) \] \[ y - 3 = \frac{1}{2}x + 1 \implies y = \frac{1}{2}x + 4 \] Таким образом, уравнение стороны AB: \[ y = \frac{1}{2}x + 4 \] #### Сторона BC - \( B(2, 5) \), \( C(0, 1) \) \[ m_{BC} = \frac{1 - 5}{0 - 2} = \frac{-4}{-2} = 2 \] Уравнение: \[ y - 5 = 2(x - 2) \] \[ y - 5 = 2x - 4 \implies y = 2x + 1 \] Уравнение стороны BC: \[ y = 2x + 1 \] #### Сторона CA - \( C(0, 1) \), \( A(-2, 3) \) \[ m_{CA} = \frac{3 - 1}{-2 - 0} = \frac{2}{-2} = -1 \] Уравнение: \[ y - 1 = -1(x - 0) \] \[ y - 1 = -x \implies y = -x + 1 \] Уравнение стороны CA: \[ y = -x + 1 \] ### 2. Уравнение высоты, опущенной из вершины C на сторону AB Теперь найдем уравнение высоты, проведенной из точки C(0, 1) к стороне AB. Для этого необходимо найти угловой коэффициент перпендикуляра: \[ m_{h} = -\frac{1}{m_{AB}} = -\frac{1}{\frac{1}{2}} = -2 \] Теперь использован уравнение прямой, проходящей через точку C(0, 1): \[ y - 1 = -2(x - 0) \implies y = -2x + 1 \] ### 3. Уравнение медианы к стороне AC Чтобы найти медиану, сначала найдем координаты середины отрезка AC. Используем формулу: \[ M(x, y) = \left(\frac{x_A + x_C}{2}, \frac{y_A + y_C}{2}\right) \] Середина AC: \[ M = \left(\frac{-2 + 0}{2}, \frac{3 + 1}{2}\right) = \left(-1, 2\right) \] Теперь находим угловой коэффициент медианы от C(0, 1) до M(-1, 2): \[ m_{medi} = \frac{y_M - y_C}{x_M - x_C} = \frac{2 - 1}{-1 - 0} = \frac{1}{-1} = -1 \] Уравнение медианы: \[ y - 1 = -1(x - 0) \implies y = -x + 1 \] ### 4. Угол A Для нахождения угла A используем формулы для нахождения угла между векторами. Векторы AB и AC: \[ \vec{AB} = B - A = (2 - (-2), 5 - 3) = (4, 2) \] \[ \vec{AC} = C - A = (0 - (-2), 1 - 3) = (2, -2) \] Находим величины векторов: \[ |\vec{AB}| = \sqrt{4^2 + 2^2} = \sqrt{16 + 4} = \sqrt{20} = 2\sqrt{5} \] \[ |\vec{AC}| = \sqrt{2^2 + (-2)^2} = \sqrt{4 + 4} = \sqrt{8} = 2\sqrt{2} \] Теперь найдем скалярное произведение: \[ \vec{AB} \cdot \vec{AC} = 4 \cdot 2 + 2 \cdot (-2) = 8 - 4 = 4 \] Угол A можно найти по формуле: \[ \cos A = \frac{\vec{AB} \cdot \vec{AC}}{|\vec{AB}| \cdot |\vec{AC}|} = \frac{4}{(2\sqrt{5})(2\sqrt{2})} = \frac{4}{4\sqrt{10}} = \frac{1}{\sqrt{10}} \] \[ A = \cos^{-1}\left(\frac{1}{\sqrt{10}}\right) \] ### 5. Чертеж в системе координат Для построения чертежа на плоскости координат Oxy: 1. Нанесите точки \( A(-2, 3) \), \( B(2, 5) \), и \( C(0, 1) \). 2. Соедините точки, чтобы получить треугольник ABC. 3. Проведите высоту из точки C к линии AB. 4. Расположите медиану от C к середине отрезка AB. Вы можете попробовать построить этот чертеж на бумаге с помощью координатной сетки, чтобы визуально понять положение треугольника и его свойств.