Для решения задачи сначала разберем, что нам известно:
- У нас есть угол величиной 60°.
- Вписанная в этот угол окружность имеет радиус ( r = 7,5 ).
Наша цель — найти расстояние от центра окружности (обозначим его точку ( O )) до вершины угла (обозначим её точку ( A )).
Шаг 1: Понимание геометрии задачи
Когда окружность вписана в угол, она касается обоих лучей, образующих угол. Радиусы, проведенные из центра окружности к точкам касания, будут перпендикулярны этим лучам.
Шаг 2: Использование тригонометрии
В данном случае, угол ( AOB ) равен 60°. Точки касания окружности с лучами угла обозначим как ( D ) и ( E ). Сегменты ( OD ) и ( OE ) будут равны радиусу окружности, то есть ( r = 7,5 ).
Шаг 3: Расчет расстояния ( OA )
Для нахождения расстояния от центра окружности ( O ) до вершины угла ( A ), воспользуемся свойствами треугольника. Для этого рассмотрим треугольник ( OAD ) (или ( OAE )).
В этом треугольнике:
- Угол ( OAD = 30° ) (половина угла 60°, так как мы исследуем равнобедренный треугольник, образованный лучом, радиусом и перпендикуляром по касательной).
- Сторона ( OD = r = 7,5 ).
Теперь мы можем выразить расстояние ( OA ) через радиус с использованием теоремы о синусах или через тригонометрические функции.
Шаг 4: Использование функции косинуса
В треугольнике ( OAD ):
- Сторона ( OA ) будет равна ( OA = r \cdot \frac{1}{\cos(30°)} ).
Значение ( \cos(30°) ) равно ( \frac{\sqrt{3}}{2} ), поэтому подставим это значение:
[
OA = 7,5 \cdot \frac{1}{\cos(30°)} = 7,5 \cdot \frac{1}{\frac{\sqrt{3}}{2}} = 7,5 \cdot \frac{2}{\sqrt{3}} = \frac{15}{\sqrt{3}} = 5\sqrt{3}
]
Шаг 5: Упрощение
Теперь мы можем вычислить конкретное значение. Для этого рассмотрим, что ( \sqrt{3} \approx 1,732 ):
[
5\sqrt{3} \approx 5 \cdot 1,732 \approx 8,66
]
Ответ
Таким образом, расстояние от центра окружности до вершины угла составляет приблизительно ( 8,66 ) единиц.
