В угол величиной 60° вписана окружность. Найти расстояние от центра окружности до вершины угла, если радиус окружности равен 7,5.
Для решения задачи сначала разберем, что нам известно:
- У нас есть угол величиной 60°.
- Вписанная в этот угол окружность имеет радиус \( r = 7,5 \).
Наша цель — найти расстояние от центра окружности (обозначим его точку \( O \)) до вершины угла (обозначим её точку \( A \)).
Шаг 1: Понимание геометрии задачи
Когда окружность вписана в угол, она касается обоих лучей, образующих угол. Радиусы, проведенные из центра окружности к точкам касания, будут перпендикулярны этим лучам.
Шаг 2: Использование тригонометрии
В данном случае, угол \( AOB \) равен 60°. Точки касания окружности с лучами угла обозначим как \( D \) и \( E \). Сегменты \( OD \) и \( OE \) будут равны радиусу окружности, то есть \( r = 7,5 \).
Шаг 3: Расчет расстояния \( OA \)
Для нахождения расстояния от центра окружности \( O \) до вершины угла \( A \), воспользуемся свойствами треугольника. Для этого рассмотрим треугольник \( OAD \) (или \( OAE \)).
В этом треугольнике:
- Угол \( OAD = 30° \) (половина угла 60°, так как мы исследуем равнобедренный треугольник, образованный лучом, радиусом и перпендикуляром по касательной).
- Сторона \( OD = r = 7,5 \).
Теперь мы можем выразить расстояние \( OA \) через радиус с использованием теоремы о синусах или через тригонометрические функции.
Шаг 4: Использование функции косинуса
В треугольнике \( OAD \):
- Сторона \( OA \) будет равна \( OA = r \cdot \frac{1}{\cos(30°)} \).
Значение \( \cos(30°) \) равно \( \frac{\sqrt{3}}{2} \), поэтому подставим это значение:
\[ OA = 7,5 \cdot \frac{1}{\cos(30°)} = 7,5 \cdot \frac{1}{\frac{\sqrt{3}}{2}} = 7,5 \cdot \frac{2}{\sqrt{3}} = \frac{15}{\sqrt{3}} = 5\sqrt{3} \]
Шаг 5: Упрощение
Теперь мы можем вычислить конкретное значение. Для этого рассмотрим, что \( \sqrt{3} \approx 1,732 \):
\[ 5\sqrt{3} \approx 5 \cdot 1,732 \approx 8,66 \]
Ответ
Таким образом, расстояние от центра окружности до вершины угла составляет приблизительно \( 8,66 \) единиц.
