найти производную y=Cosx•x^-6

Чтобы найти производную функции \( y = \cos(x) \cdot x^{-6} \), будем использовать правило произведения. Это правило гласит, что если у нас есть две функции \( u(x) \) и \( v(x) \), то производная их произведения \( y = u(x) \cdot v(x) \) вычисляется по формуле:

\[ y' = u' \cdot v + u \cdot v' \]

Шаг 1: Определим функции

В нашем случае:

• \( u(x) = \cos(x) \)
• \( v(x) = x^{-6} \)

Шаг 2: Найдем производные \( u' \) и \( v' \)

1. Находим производную \( u' = \cos(x) \): \[ u' = -\sin(x) \]

2. Находим производную \( v' = x^{-6} \): Для этого используем правило степени. Для функции \( x^n \) производная \( n \cdot x^{n-1} \): \[ v' = -6 \cdot x^{-7} \]

Шаг 3: Применяем правило произведения

Теперь подставим найденные производные в формулу для производной произведения:

\[ y' = u' \cdot v + u \cdot v' \]

Подставим \( u, u', v, v' \):

\[ y' = (-\sin(x)) \cdot (x^{-6}) + (\cos(x)) \cdot (-6 \cdot x^{-7}) \]

Шаг 4: Упростим

Теперь упростим выражение:

\[ y' = -\sin(x) \cdot x^{-6} - 6 \cos(x) \cdot x^{-7} \]

\[ y' = -\frac{\sin(x)}{x^6} - \frac{6 \cos(x)}{x^7} \]

Ответ

Итак, производная функции \( y = \cos(x) \cdot x^{-6} \) выглядит следующим образом: \[ y' = -\frac{\sin(x)}{x^6} - \frac{6 \cos(x)}{x^7} \]

Это и будет нашим финальным ответом. Если остались вопросы по процессу, не стесняйтесь спрашивать!