Чтобы найти производную функции ( y = \cos(x) \cdot x^{-6} ), будем использовать правило произведения. Это правило гласит, что если у нас есть две функции ( u(x) ) и ( v(x) ), то производная их произведения ( y = u(x) \cdot v(x) ) вычисляется по формуле:
[
y' = u' \cdot v + u \cdot v'
]
Шаг 1: Определим функции
В нашем случае:
- ( u(x) = \cos(x) )
- ( v(x) = x^{-6} )
Шаг 2: Найдем производные ( u' ) и ( v' )
Находим производную ( u' = \cos(x) ):
[
u' = -\sin(x)
]
Находим производную ( v' = x^{-6} ):
Для этого используем правило степени. Для функции ( x^n ) производная ( n \cdot x^{n-1} ):
[
v' = -6 \cdot x^{-7}
]
Шаг 3: Применяем правило произведения
Теперь подставим найденные производные в формулу для производной произведения:
[
y' = u' \cdot v + u \cdot v'
]
Подставим ( u, u', v, v' ):
[
y' = (-\sin(x)) \cdot (x^{-6}) + (\cos(x)) \cdot (-6 \cdot x^{-7})
]
Шаг 4: Упростим
Теперь упростим выражение:
[
y' = -\sin(x) \cdot x^{-6} - 6 \cos(x) \cdot x^{-7}
]
[
y' = -\frac{\sin(x)}{x^6} - \frac{6 \cos(x)}{x^7}
]
Ответ
Итак, производная функции ( y = \cos(x) \cdot x^{-6} ) выглядит следующим образом:
[
y' = -\frac{\sin(x)}{x^6} - \frac{6 \cos(x)}{x^7}
]
Это и будет нашим финальным ответом. Если остались вопросы по процессу, не стесняйтесь спрашивать!
