Действия комплексных чисел z1=12+5i z2=3-4i

Давайте решим задачу с комплексными числами \( z_1 = 12 + 5i \) и \( z_2 = 3 - 4i \). Мы рассмотрим основные действия с комплексными числами: сложение, вычитание, умножение и деление. ### 1. Сложение комплексных чисел Чтобы сложить два комплексных числа, складываем их действительные части и мнимые части отдельно. \[ z_1 + z_2 = (12 + 5i) + (3 - 4i) \] Складываем действительные части: \[ 12 + 3 = 15 \] Теперь складываем мнимые части: \[ 5i - 4i = 1i \quad \text{или просто } i \] Таким образом, сумма будет: \[ z_1 + z_2 = 15 + i \] ### 2. Вычитание комплексных чисел Теперь вычтем \( z_2 \) из \( z_1 \): \[ z_1 - z_2 = (12 + 5i) - (3 - 4i) \] Вычитаем действительные части: \[ 12 - 3 = 9 \] Теперь вычитаем мнимые части: \[ 5i + 4i = 9i \] Таким образом, разность будет: \[ z_1 - z_2 = 9 + 9i \] ### 3. Умножение комплексных чисел Теперь умножим \( z_1 \) на \( z_2 \). Для этого используем формулу: \[ (a + bi)(c + di) = ac + adi + bci + bdi^2 \] Где \( i^2 = -1 \). Так что: \[ z_1 \cdot z_2 = (12 + 5i)(3 - 4i) \] Выходя из формулы, умножаем: - Действительные части: \( 12 \cdot 3 = 36 \) - Действительные и мнимые: \( 12 \cdot (-4i) + 5i \cdot 3 = -48i + 15i = -33i \) - Мнимые части: \( 5i \cdot (-4i) = -20i^2 = 20 \) (поскольку \( i^2 = -1 \)) Складываем: \[ 36 + 20 - 33i = 56 - 33i \] Таким образом, произведение будет: \[ z_1 \cdot z_2 = 56 - 33i \] ### 4. Деление комплексных чисел Для деления комплексных чисел используем метод умножения числителя и знаменателя на сопряженное число. \[ \frac{z_1}{z_2} = \frac{12 + 5i}{3 - 4i} \] Умножим на сопряженное \( z_2 \): \[ \frac{(12 + 5i)(3 + 4i)}{(3 - 4i)(3 + 4i)} \] Обсчитаем знаменатель: \[ (3 - 4i)(3 + 4i) = 9 + 16 = 25 \] Теперь обсчитаем числитель: \[ (12 + 5i)(3 + 4i) = 36 + 48i + 15i + 20i^2 = 36 + 63i - 20 = 16 + 63i \] Итак, \[ \frac{z_1}{z_2} = \frac{16 + 63i}{25} = \frac{16}{25} + \frac{63}{25}i \] ### Результаты - Сложение: \( z_1 + z_2 = 15 + i \) - Вычитание: \( z_1 - z_2 = 9 + 9i \) - Умножение: \( z_1 \cdot z_2 = 56 - 33i \) - Деление: \( \frac{z_1}{z_2} = \frac{16}{25} + \frac{63}{25}i \) Если у вас остались вопросы или нужна дополнительная информация, не стесняйтесь спрашивать!