действия комплексных чисел z1=12+5i z2=3-4i

Давайте решим задачу с комплексными числами \( z_1 = 12 + 5i \) и \( z_2 = 3 - 4i \). Мы рассмотрим основные действия с комплексными числами: сложение, вычитание, умножение и деление.

1. Сложение комплексных чисел

Чтобы сложить два комплексных числа, складываем их действительные части и мнимые части отдельно.

\[ z_1 + z_2 = (12 + 5i) + (3 - 4i) \]

Складываем действительные части:

\[ 12 + 3 = 15 \]

Теперь складываем мнимые части:

\[ 5i - 4i = 1i \quad \text{или просто } i \]

Таким образом, сумма будет:

\[ z_1 + z_2 = 15 + i \]

2. Вычитание комплексных чисел

Теперь вычтем \( z_2 \) из \( z_1 \):

\[ z_1 - z_2 = (12 + 5i) - (3 - 4i) \]

Вычитаем действительные части:

\[ 12 - 3 = 9 \]

Теперь вычитаем мнимые части:

\[ 5i + 4i = 9i \]

Таким образом, разность будет:

\[ z_1 - z_2 = 9 + 9i \]

3. Умножение комплексных чисел

Теперь умножим \( z_1 \) на \( z_2 \). Для этого используем формулу:

\[ (a + bi)(c + di) = ac + adi + bci + bdi^2 \]

Где \( i^2 = -1 \).

Так что:

\[ z_1 \cdot z_2 = (12 + 5i)(3 - 4i) \]

Выходя из формулы, умножаем:

• Действительные части: \( 12 \cdot 3 = 36 \)
• Действительные и мнимые: \( 12 \cdot (-4i) + 5i \cdot 3 = -48i + 15i = -33i \)
• Мнимые части: \( 5i \cdot (-4i) = -20i^2 = 20 \) (поскольку \( i^2 = -1 \))

Складываем:

\[ 36 + 20 - 33i = 56 - 33i \]

Таким образом, произведение будет:

\[ z_1 \cdot z_2 = 56 - 33i \]

4. Деление комплексных чисел

Для деления комплексных чисел используем метод умножения числителя и знаменателя на сопряженное число.

\[ \frac{z_1}{z_2} = \frac{12 + 5i}{3 - 4i} \]

Умножим на сопряженное \( z_2 \):

\[ \frac{(12 + 5i)(3 + 4i)}{(3 - 4i)(3 + 4i)} \]

Обсчитаем знаменатель:

\[ (3 - 4i)(3 + 4i) = 9 + 16 = 25 \]

Теперь обсчитаем числитель:

\[ (12 + 5i)(3 + 4i) = 36 + 48i + 15i + 20i^2 = 36 + 63i - 20 = 16 + 63i \]

Итак,

\[ \frac{z_1}{z_2} = \frac{16 + 63i}{25} = \frac{16}{25} + \frac{63}{25}i \]

Результаты

• Сложение: \( z_1 + z_2 = 15 + i \)
• Вычитание: \( z_1 - z_2 = 9 + 9i \)
• Умножение: \( z_1 \cdot z_2 = 56 - 33i \)
• Деление: \( \frac{z_1}{z_2} = \frac{16}{25} + \frac{63}{25}i \)

Если у вас остались вопросы или нужна дополнительная информация, не стесняйтесь спрашивать!