541. Периметр прямоугольной трапеции, описанной около окружности, равен 42, её большая боковая сторона равна 12 (см. рис. 309). Найдите радиус окружности. D 0

Для решения задачи о нахождении радиуса окружности, описанной около прямоугольной трапеции, следуем следующим шагам.

Шаг 1: Понимание понятий

Прямоугольная трапеция — это фигура, у которой две стороны (основания) параллельны, а две другие стороны (боковые) перпендикулярны основанию. Окружность, вписанная в трапецию, касается всех её сторон.

Шаг 2: Формула для периметра

Периметр трапеции \( P \) равен сумме всех её сторон. Для прямоугольной трапеции, описанной около окружности, существует важное свойство: \[ P = a + b + c + d = 2(r_1 + r_2), \] где \( a \) и \( b \) — основания, \( c \) и \( d \) — боковые стороны, а \( r_1 \) и \( r_2 \) — радиусы окружностей, описанных около сторон. Так как для задача о вписанной окружности встречается в контексте трапеции особое свойство, можно выразить радиус \( R \) окружности как: \[ R = \frac{P}{8}. \]

Шаг 3: Данные задачи

• Периметр \( P = 42 \)
• Большая боковая сторона (одна из боковых) \( c = 12 \)

Шаг 4: Третья боковая сторона

Для трапеции периметр отличается от суммы боковых сторон следующим образом: \[ P = a + b + 12 + d = 42, \] где \( a \) и \( b \) — это основания. Поскольку трапеция описана около окружности, сумма оснований равна сумме боковых: \[ a + b = 12 + d. \]

Шаг 5: Выражение радиуса

Поскольку периметр равен 42, используем формулу: \[ R = \frac{42}{8} = 5.25. \] Итак, радиус \( R \) окружности, описанной около данной трапеции, равен 5.25.

Ответ:

Радиус окружности равен 5.25 см.