Для решения задачи о нахождении радиуса окружности, описанной около прямоугольной трапеции, следуем следующим шагам.
Шаг 1: Понимание понятий
Прямоугольная трапеция — это фигура, у которой две стороны (основания) параллельны, а две другие стороны (боковые) перпендикулярны основанию. Окружность, вписанная в трапецию, касается всех её сторон.
Шаг 2: Формула для периметра
Периметр трапеции ( P ) равен сумме всех её сторон. Для прямоугольной трапеции, описанной около окружности, существует важное свойство:
[
P = a + b + c + d = 2(r_1 + r_2),
]
где ( a ) и ( b ) — основания, ( c ) и ( d ) — боковые стороны, а ( r_1 ) и ( r_2 ) — радиусы окружностей, описанных около сторон. Так как для задача о вписанной окружности встречается в контексте трапеции особое свойство, можно выразить радиус ( R ) окружности как:
[
R = \frac{P}{8}.
]
Шаг 3: Данные задачи
- Периметр ( P = 42 )
- Большая боковая сторона (одна из боковых) ( c = 12 )
Шаг 4: Третья боковая сторона
Для трапеции периметр отличается от суммы боковых сторон следующим образом:
[
P = a + b + 12 + d = 42,
]
где ( a ) и ( b ) — это основания. Поскольку трапеция описана около окружности, сумма оснований равна сумме боковых:
[
a + b = 12 + d.
]
Шаг 5: Выражение радиуса
Поскольку периметр равен 42, используем формулу:
[
R = \frac{42}{8} = 5.25.
]
Итак, радиус ( R ) окружности, описанной около данной трапеции, равен 5.25.
Ответ:
Радиус окружности равен 5.25 см.
