440. Имеются N_{1} = 10 одинаковых резисторов, сопротивления которых R₁ = 2 Ом, и N_{2} = 20 одинаковых резисторов, сопротивле-ния которых R_{2} = 4O_{M} Как следует составить…
440. Имеются N_{1} = 10 одинаковых резисторов, сопротивления которых R₁ = 2 Ом, и N_{2} = 20 одинаковых резисторов, сопротивле-ния которых R_{2} = 4O_{M} Как следует составить электрическую цепь, чтобы ее общее сопротивление было минимальным? Определите это сопротивление.
Для решения задачи, давай разберемся, как организовать резисторы в цепи для получения минимального общего сопротивления. Мы будем использовать закон соединения резисторов.
Шаг 1: Понимание соединений резисторов
Резисторы могут быть соединены:
- Последовательно: Общее сопротивление \( R_{с} \) равно сумме сопротивлений: \[ R_{с} = R_1 + R_2 + ... + R_n \]
- Параллельно: Общее сопротивление \( R_{п} \) вычисляется по формуле: \[ \frac{1}{R_{п}} = \frac{1}{R_1} + \frac{1}{R_2} + ... + \frac{1}{R_n} \]
Шаг 2: Определение резисторов
У нас есть два типа резисторов:
- 10 резисторов с сопротивлением \( R_1 = 2 \, \Omega \)
- 20 резисторов с сопротивлением \( R_2 = 4 \, \Omega \)
Шаг 3: Наименьшее общее сопротивление
Для минимизации общего сопротивления резисторы необходимо соединить параллельно, так как при параллельном соединении общее сопротивление всегда меньше, чем у каждого из резисторов.
Расчет
Сначала мы вычислим общее сопротивление для каждого типа резисторов:
Резисторы 2 Ом:
У нас 10 резисторов с сопротивлением 2 Ом: \[ \frac{1}{R_{п1}} = \frac{10}{R_1} = \frac{10}{2} \Rightarrow R_{п1} = \frac{2}{10} = 0.2 \, \Omega \]Резисторы 4 Ом:
У нас 20 резисторов с сопротивлением 4 Ом: \[ \frac{1}{R_{п2}} = \frac{20}{R_2} = \frac{20}{4} \Rightarrow R_{п2} = \frac{4}{20} = 0.2 \, \Omega \]
Теперь у нас есть два параллельных соединения:
- Первое соединение: \( R_{п1} = 0.2 \, \Omega \)
- Второе соединение: \( R_{п2} = 0.2 \, \Omega \)
Шаг 4: Объединение обоих соединений
Теперь соединим \( R_{п1} \) и \( R_{п2} \) также параллельно: \[ \frac{1}{R_{п}} = \frac{1}{R_{п1}} + \frac{1}{R_{п2}} = \frac{1}{0.2} + \frac{1}{0.2} = 5 + 5 = 10 \] \[ R_{п} = \frac{1}{10} = 0.1 \, \Omega \]
Вывод
Наименьшее общее сопротивление цепи, составленной из резисторов, равно: \[ R_{п} = 0.1 \, \Omega \]
Таким образом, чтобы минимизировать общее сопротивление, нужно соединить все резисторы параллельно, и общее сопротивление этой цепи составляет 0.1 Ом.
