Для решения задачи, давай разберемся, как организовать резисторы в цепи для получения минимального общего сопротивления. Мы будем использовать закон соединения резисторов.
Шаг 1: Понимание соединений резисторов
Резисторы могут быть соединены:
- Последовательно: Общее сопротивление ( R_{с} ) равно сумме сопротивлений:
[
R_{с} = R_1 + R_2 + ... + R_n
]
- Параллельно: Общее сопротивление ( R_{п} ) вычисляется по формуле:
[
\frac{1}{R_{п}} = \frac{1}{R_1} + \frac{1}{R_2} + ... + \frac{1}{R_n}
]
Шаг 2: Определение резисторов
У нас есть два типа резисторов:
- 10 резисторов с сопротивлением ( R_1 = 2 , \Omega )
- 20 резисторов с сопротивлением ( R_2 = 4 , \Omega )
Шаг 3: Наименьшее общее сопротивление
Для минимизации общего сопротивления резисторы необходимо соединить параллельно, так как при параллельном соединении общее сопротивление всегда меньше, чем у каждого из резисторов.
Расчет
Сначала мы вычислим общее сопротивление для каждого типа резисторов:
Резисторы 2 Ом:
У нас 10 резисторов с сопротивлением 2 Ом:
[
\frac{1}{R_{п1}} = \frac{10}{R_1} = \frac{10}{2} \Rightarrow R_{п1} = \frac{2}{10} = 0.2 , \Omega
]
Резисторы 4 Ом:
У нас 20 резисторов с сопротивлением 4 Ом:
[
\frac{1}{R_{п2}} = \frac{20}{R_2} = \frac{20}{4} \Rightarrow R_{п2} = \frac{4}{20} = 0.2 , \Omega
]
Теперь у нас есть два параллельных соединения:
- Первое соединение: ( R_{п1} = 0.2 , \Omega )
- Второе соединение: ( R_{п2} = 0.2 , \Omega )
Шаг 4: Объединение обоих соединений
Теперь соединим ( R_{п1} ) и ( R_{п2} ) также параллельно:
[
\frac{1}{R_{п}} = \frac{1}{R_{п1}} + \frac{1}{R_{п2}} = \frac{1}{0.2} + \frac{1}{0.2} = 5 + 5 = 10
]
[
R_{п} = \frac{1}{10} = 0.1 , \Omega
]
Вывод
Наименьшее общее сопротивление цепи, составленной из резисторов, равно:
[
R_{п} = 0.1 , \Omega
]
Таким образом, чтобы минимизировать общее сопротивление, нужно соединить все резисторы параллельно, и общее сопротивление этой цепи составляет 0.1 Ом.
