Решите систему уравнения методом сложения
Чтобы решить систему уравнений методом сложения, нужно сложить уравнения так, чтобы одна из переменных исключилась. Рассмотрим систему:
- \( x - xy = 6 \)
- \( y - xy = 2 \)
Шаг 1: Сложим оба уравнения.
\[ (x - xy) + (y - xy) = 6 + 2 \]
Шаг 2: Упрощаем левую часть:
\[ x + y - 2xy = 8 \]
Теперь у нас есть уравнение:
\[ x + y - 2xy = 8 \]
Шаг 3: Простое разложение системы:
Вернёмся к оригинальным уравнениям. Мы видим, что обе стороны содержат член \(-xy\). Попробуем выразить \(x\) или \(y\) через другой элемент уравнений. Например, из первого уравнения выразим \(x\):
\[ x - xy = 6 \]
\[ x(1 - y) = 6 \]
\[ x = \frac{6}{1 - y} \]
Подставим это во второе уравнение:
\[ y - xy = 2 \]
\[ y - \frac{6y}{1 - y} = 2 \]
Решим это уравнение для \(y\):
Умножим всё на \(1-y\), чтобы избавиться от дроби:
\[ y(1-y) - 6y = 2(1-y) \]
\[ y - y^2 - 6y = 2 - 2y \]
\[ -y^2 - 5y = 2 - 2y \]
Переносим все элементы на одну сторону:
\[ -y^2 - 3y - 2 = 0 \]
Произведение: -2, сумма: -3. Найдём корни квадратного уравнения:
Корни находятся по формуле:
\[ y = \frac{-b \pm \sqrt{b^2 - 4ac}}{2a} \]
где \( a = -1 \), \( b = -3 \), \( c = -2 \).
\[ y = \frac{-(-3) \pm \sqrt{(-3)^2 - 4 \cdot (-1) \cdot (-2)}}{2 \cdot (-1)} \]
\[ y = \frac{3 \pm \sqrt{9 - 8}}{-2} \]
\[ y = \frac{3 \pm 1}{-2} \]
\[ y = \frac{4}{-2} \text{ или } \frac{2}{-2} \]
\[ y = -2 \text{ или } y = -1 \]
Так как \(x = \frac{6}{1-y}\), найдём \(x\) для каждого значения:
- Если \(y = -2\):
\[ x = \frac{6}{1 - (-2)} = \frac{6}{3} = 2 \]
- Если \(y = -1\):
\[ x = \frac{6}{1 - (-1)} = \frac{6}{2} = 3 \]
Таким образом, решения системы:
- \(x = 2\), \(y = -2\)
- \(x = 3\), \(y = -1\)
Это решения системы уравнений.
