Решите систему уравнения методом сложения

Чтобы решить систему уравнений методом сложения, нужно сложить уравнения так, чтобы одна из переменных исключилась. Рассмотрим систему: 1. \( x - xy = 6 \) 2. \( y - xy = 2 \) Шаг 1: Сложим оба уравнения. \[ (x - xy) + (y - xy) = 6 + 2 \] Шаг 2: Упрощаем левую часть: \[ x + y - 2xy = 8 \] Теперь у нас есть уравнение: \[ x + y - 2xy = 8 \] Шаг 3: Простое разложение системы: Вернёмся к оригинальным уравнениям. Мы видим, что обе стороны содержат член \(-xy\). Попробуем выразить \(x\) или \(y\) через другой элемент уравнений. Например, из первого уравнения выразим \(x\): \[ x - xy = 6 \] \[ x(1 - y) = 6 \] \[ x = \frac{6}{1 - y} \] Подставим это во второе уравнение: \[ y - xy = 2 \] \[ y - \frac{6y}{1 - y} = 2 \] Решим это уравнение для \(y\): Умножим всё на \(1-y\), чтобы избавиться от дроби: \[ y(1-y) - 6y = 2(1-y) \] \[ y - y^2 - 6y = 2 - 2y \] \[ -y^2 - 5y = 2 - 2y \] Переносим все элементы на одну сторону: \[ -y^2 - 3y - 2 = 0 \] Произведение: -2, сумма: -3. Найдём корни квадратного уравнения: Корни находятся по формуле: \[ y = \frac{-b \pm \sqrt{b^2 - 4ac}}{2a} \] где \( a = -1 \), \( b = -3 \), \( c = -2 \). \[ y = \frac{-(-3) \pm \sqrt{(-3)^2 - 4 \cdot (-1) \cdot (-2)}}{2 \cdot (-1)} \] \[ y = \frac{3 \pm \sqrt{9 - 8}}{-2} \] \[ y = \frac{3 \pm 1}{-2} \] \[ y = \frac{4}{-2} \text{ или } \frac{2}{-2} \] \[ y = -2 \text{ или } y = -1 \] Так как \(x = \frac{6}{1-y}\), найдём \(x\) для каждого значения: 1. Если \(y = -2\): \[ x = \frac{6}{1 - (-2)} = \frac{6}{3} = 2 \] 2. Если \(y = -1\): \[ x = \frac{6}{1 - (-1)} = \frac{6}{2} = 3 \] Таким образом, решения системы: 1. \(x = 2\), \(y = -2\) 2. \(x = 3\), \(y = -1\) Это решения системы уравнений.