Для решения данной задачи нам нужно использовать концепцию биномиального распределения, поскольку мы имеем фиксированное число испытаний (10 деталей) и вероятность успешного исхода (отклонение номинала).
Параметры задачи:
- Общее количество деталей (n) = 10
- Вероятность отклонения номинала (p) = 0,4
- Количество деталей с отклонением (k) = 5
Формула биномиального распределения:
Вероятность того, что из n испытаний (в нашем случае, деталей) произойдет ровно k успехов, рассчитывается по формуле:
[
P(X = k) = C(n, k) \cdot p^k \cdot (1-p)^{n-k}
]
где:
- ( P(X = k) ) — вероятность получить k успехов,
- ( C(n, k) ) — биномиальный коэффициент, который можно рассчитать по формуле:
[
C(n, k) = \frac{n!}{k!(n-k)!}
]
Шаги решения:
- Найдем биномиальный коэффициент ( C(10, 5) ):
[
C(10, 5) = \frac{10!}{5! \cdot (10-5)!} = \frac{10!}{5! \cdot 5!} = \frac{10 \times 9 \times 8 \times 7 \times 6}{5 \times 4 \times 3 \times 2 \times 1} = 252
]
- Рассчитаем ( p^k ):
[
p^5 = (0,4)^5 = 0,4 \times 0,4 \times 0,4 \times 0,4 \times 0,4 = 0,01024
]
- Рассчитаем ( (1 - p)^{n-k} ):
[
(1-p)^{10-5} = (0,6)^5 = 0,6 \times 0,6 \times 0,6 \times 0,6 \times 0,6 = 0,07776
]
- Подставим все значения в формулу:
[
P(X = 5) = C(10, 5) \cdot p^5 \cdot (1-p)^{5}
]
[
P(X = 5) = 252 \cdot 0,01024 \cdot 0,07776
]
- Расчитаем окончательную вероятность:
[
P(X = 5) = 252 \cdot 0,01024 \cdot 0,07776 \approx 0,200658
]
Таким образом, окончательный ответ:
Вероятность того, что в партии есть 5 деталей с отклонением от номинала, составляет примерно 0,2007 или 20,07%.
