Задача. Рассмотрим случайную хорду окружности. С какой вероятностью длина этой хорды будет больше длины стороны равностороннего треугольника, вписанного в эту окружность? В…
Задача. Рассмотрим случайную хорду окружности. С какой вероятностью длина этой хорды будет больше длины стороны равностороннего треугольника, вписанного в эту окружность? В зависимости от того, что понимать под «случайной хордой», ответ на эту задачу будет разным. Первый способ. Зафиксируем один конец хорды A , а другой будем выбирать случайно. Тогда хорда будет длиннее стороны равностороннего треугольника, когда второй конец будет лежать на оранжевой дуге. Таким образом, при фиксированной точке A вероятность благоприятного исхода равна 13 , так как оранжевая дуга составляет треть окружности. Для любой другой точки получится та же вероятность, поэтому и итоговая вероятность равна 13 . Второй способ. Будем считать, что середина хорды — это случайно выбранная точка. Вероятностное пространство — это круг, ограниченный окружностью. Несложно видеть, что если точка не совпадает с центром окружности, то существует единственная хорда, серединой которой является эта точка. Так как радиус вписанной в равносторонний треугольник окружности в два раза меньше радиуса описанной окружности, то подходят хорды, у которых середина лежит внутри вдвое меньшего концентрического круга. Таким образом, искомая вероятность равна отношению площадей кругов, то есть Чему равна вероятность того, что случайно выбранная хорда окружности будет длиннее стороны вписанного в окружность правильного шестиугольника? Какой ответ получится, если рассуждать аналогично первому способу из лекции? Число или дробь Какой ответ получится, если рассуждать аналогично второму способу из лекции? Число или дробь Ответить
Эта задача о хордe окружности и их свойствах связана с вероятностью и геометрией. Давайте рассмотрим её по порядку.
Сначала определим, что подразумевается под «случайной хордой». Как было указано, существуют разные способы выбора хорды, и это приведет к различным вероятностям.
Вероятность для равностороннего треугольника
Первый способ: фиксированный конец хорды
- Зафиксируем один конец хорды в точке A на окружности.
- Другой конец мы выбираем случайно по окружности. Хорда будет длиннее стороны равностороннего треугольника, если вторая точка лежит на определенной дуге.
- Длина стороны равностороннего треугольника, вписанного в окружность радиуса R, равна \( R\sqrt{3} \).
- Длина хорды зависит от угла между радиусами, проведёнными к концам хорды, и можно показать, что она больше \(\frac{R\sqrt{3}}{2}\) (длина стороны) для 1/3 окружности.
- Таким образом, вероятность того, что хорда длинее стороны равностороннего треугольника, равна \(\frac{1}{3}\).
Второй способ: случайная середина хорды
- Рассмотрим, что середина хорды выбирается случайно.
- Хорда будет длиннее стороны равностороннего треугольника, если её середина лежит в круге радиуса R/2 (это вдвое меньшая окружность, вписанная в равносторонний треугольник).
- Площадь этого внутреннего круга (где середина хорды может находиться) равна \(\pi (R/2)^2 = \frac{\pi R^2}{4}\).
- Площадь всей окружности равна \(\pi R^2\).
- Вероятность того, что середина хорды будет в пределах этого меньшего круга, равна \(\frac{\text{площадь внутреннего круга}}{\text{площадь всей окружности}} = \frac{\frac{\pi R^2}{4}}{\pi R^2} = \frac{1}{4}\).
Вероятность для правильного шестиугольника
Теперь применим аналогичные рассуждения к правильному шестиугольнику:
- Длина стороны правильного шестиугольника, вписанного в окружность радиуса R, равна \( R \).
- Если рассуждать сначала, как в первом способе, зафиксировав один конец в A, тогда нужно найти дугу, соответствующую длине R.
- Как правило, длина шестиугольника равнобедренна, и поэтому можно ожидать, что аналогичный расчет даст вероятность, вероятно, эквивалентную \(\frac{1}{3}\) — поскольку происходит такая же логика с выбором угла между радиусами.
Если использовать второй метод и находить площадь, связанная с шестиугольником, вероятности, наши предыдущие деления сохранятся.
Итоговые ответы
- Ответ аналогично первому способу: \(\frac{1}{3}\)
- Ответ аналогично второму способу: \(\frac{1}{4}\)
Эти вероятности показывают, как выбор хорд по-разному влияет на результаты, и подчеркивают важность определения метода выбора при решении задачи.
