в полном графе количество рёбер 171. Сколько в нём вершин?
Для решения задачи, давайте вспомним, что полная графа — это граф, в котором каждая пара различных вершин соединена ребром. Мы будем использовать одну из основных формул графов.
Обозначим:
- \( n \) — количество вершин в графе.
- \( m \) — количество рёбер.
В полном графе количество рёбер можно вычислить по формуле:
\[ m = \frac{n(n-1)}{2} \]
В данной задаче нам известно, что \( m = 171 \). Подставим это значение в формулу.
\[ 171 = \frac{n(n-1)}{2} \]
Теперь умножим обе стороны уравнения на 2, чтобы избавиться от дроби:
\[ 342 = n(n-1) \]
Теперь у нас есть квадратное уравнение:
\[ n^2 - n - 342 = 0 \]
Для решения этого квадратного уравнения можем использовать формулу дискриминанта:
\[ D = b^2 - 4ac \]
где \( a = 1 \), \( b = -1 \), \( c = -342 \). Подставим значения:
\[ D = (-1)^2 - 4 \times 1 \times (-342) = 1 + 1368 = 1369 \]
Теперь найдём корни уравнения по формуле:
\[ n = \frac{-b \pm \sqrt{D}}{2a} = \frac{1 \pm \sqrt{1369}}{2} \]
Решим \( \sqrt{1369} = 37 \). Теперь подставим это значение:
\[ n = \frac{1 \pm 37}{2} \]
Это даёт два возможных значения:
- \( n = \frac{38}{2} = 19 \)
- \( n = \frac{-36}{2} = -18 \) (что невозможно, так как количество вершин не может быть отрицательным)
Таким образом, мы получаем:
\[ n = 19 \]
Ответ: в полном графе, в котором количество рёбер равно 171, количество вершин равно 19.
