Для решения задачи, давайте вспомним, что полная графа — это граф, в котором каждая пара различных вершин соединена ребром. Мы будем использовать одну из основных формул графов.
Обозначим:
- ( n ) — количество вершин в графе.
- ( m ) — количество рёбер.
В полном графе количество рёбер можно вычислить по формуле:
[
m = \frac{n(n-1)}{2}
]
В данной задаче нам известно, что ( m = 171 ). Подставим это значение в формулу.
[
171 = \frac{n(n-1)}{2}
]
Теперь умножим обе стороны уравнения на 2, чтобы избавиться от дроби:
[
342 = n(n-1)
]
Теперь у нас есть квадратное уравнение:
[
n^2 - n - 342 = 0
]
Для решения этого квадратного уравнения можем использовать формулу дискриминанта:
[
D = b^2 - 4ac
]
где ( a = 1 ), ( b = -1 ), ( c = -342 ). Подставим значения:
[
D = (-1)^2 - 4 \times 1 \times (-342) = 1 + 1368 = 1369
]
Теперь найдём корни уравнения по формуле:
[
n = \frac{-b \pm \sqrt{D}}{2a} = \frac{1 \pm \sqrt{1369}}{2}
]
Решим ( \sqrt{1369} = 37 ). Теперь подставим это значение:
[
n = \frac{1 \pm 37}{2}
]
Это даёт два возможных значения:
- ( n = \frac{38}{2} = 19 )
- ( n = \frac{-36}{2} = -18 ) (что невозможно, так как количество вершин не может быть отрицательным)
Таким образом, мы получаем:
[
n = 19
]
Ответ: в полном графе, в котором количество рёбер равно 171, количество вершин равно 19.
