Задача ABCDA,B,C,D, - куб AB = /3, AM = 1 Найдите двугранный угол АВСМ

Чтобы найти двугранный угол \( A B C M \) в кубе \( ABCD A'B'C'D' \), где \( AB = \sqrt{3} \) и \( AM = 1 \), давайте подробно разберем задачу шаг за шагом.

1. Данные

Мы имеем:

• \( AB = \sqrt{3} \): длина ребра куба.
• \( AM = 1 \): отрезок от вершины \( A \) до точки \( M \) на ребре \( AB \).

2. Определение точек

Рассмотрим куб:

• Вершина \( A \) будет в координатах \( (0, 0, 0) \).
• Вершина \( B \) будет в координатах \( (\sqrt{3}, 0, 0) \).
• Вершина \( C \) будет в координатах \( (\sqrt{3}, \sqrt{3}, 0) \).
• Вершина \( D \) будет в координатах \( (0, \sqrt{3}, 0) \).
• Вершина \( A' \) будет в координатах \( (0, 0, \sqrt{3}) \).
• Вершина \( B' \) будет в координатах \( (\sqrt{3}, 0, \sqrt{3}) \).
• Вершина \( C' \) будет в координатах \( (\sqrt{3}, \sqrt{3}, \sqrt{3}) \).
• Вершина \( D' \) будет в координатах \( (0, \sqrt{3}, \sqrt{3}) \).

Точка \( M \) находится на отрезке \( AB \). Так как \( AM = 1 \), то \( M \) будет в координатах:

\[ M = \left(1, 0, 0\right) \]

3. Векторы

Теперь определим необходимые векторы:

• Вектор \( \vec{AB} = B - A = (\sqrt{3}, 0, 0) - (0, 0, 0) = (\sqrt{3}, 0, 0) \).
• Вектор \( \vec{AC} = C - A = (\sqrt{3}, \sqrt{3}, 0) - (0, 0, 0) = (\sqrt{3}, \sqrt{3}, 0) \).
• Вектор \( \vec{AM} = M - A = (1, 0, 0) - (0, 0, 0) = (1, 0, 0) \).

4. Нахождение двугранного угла

Двугранный угол \( \angle ABCM \) можно найти при помощи косинусного правила и формулы для угла между плоскостями.

Для нахождения угла между векторами, используем формулу: \[ \cos \theta = \frac{\vec{u} \cdot \vec{v}}{|\vec{u}| |\vec{v}|} \]

Выберем векторы:

• \( \vec{AC} = (\sqrt{3}, \sqrt{3}, 0) \)
• \( \vec{AM} = (1, 0, 0) \)

4.1. Длина векторов

• \( |\vec{AC}| = \sqrt{(\sqrt{3})^2 + (\sqrt{3})^2 + 0^2} = \sqrt{3 + 3} = \sqrt{6} \)
• \( |\vec{AM}| = \sqrt{(1)^2 + 0^2 + 0^2} = 1 \)

4.2. Скалярное произведение

Скалярное произведение \( \vec{AC} \cdot \vec{AM} \): \[ \vec{AC} \cdot \vec{AM} = (\sqrt{3}, \sqrt{3}, 0) \cdot (1, 0, 0) = \sqrt{3} \cdot 1 + \sqrt{3} \cdot 0 + 0 \cdot 0 = \sqrt{3} \]

4.3. Нахождение косинуса угла

Теперь подставим все в формулу для косинуса угла: \[ \cos \theta = \frac{\sqrt{3}}{\sqrt{6} \cdot 1} = \frac{\sqrt{3}}{\sqrt{6}} = \frac{\sqrt{3}}{\sqrt{2} \sqrt{3}} = \frac{1}{\sqrt{2}} \]

Это дает: \[ \theta = \arccos\left(\frac{1}{\sqrt{2}}\right) = \frac{\pi}{4} \]

5. Ответ

Двугранный угол \( \angle ABCM \) равен \( \frac{\pi}{4} \) радиан или 45 градусов.