Диспетчер скорой помощи за час приняла 360 звонков. Определи вероятность того, что в течение следующего часа число звонков превысит 468. (Ответ округли до сотых.)

Чтобы решить поставленную задачу, мы будем использовать закон распределения Пуассона, который подходит для моделирования количества событий (в данном случае звонков) в фиксированном интервале времени, когда эти события происходят независимо друг от друга.

Шаг 1: Определение параметра λ (лямбда)

Диспетчер скорой помощи принимает в среднем 360 звонков за час. Это значение будет нашим параметром λ:

\[ \lambda = 360 \]

Шаг 2: Формула распределения Пуассона

Формула для вероятности того, что число событий \( k \) происходит при параметре λ, выглядит следующим образом:

\[ P(X = k) = \frac{e^{-\lambda} \lambda^k}{k!} \]

где:

• \( e \) — база натурального логарифма (примерно \( 2.71828 \)),
• \( k \) — количество событий (в данном случае звонков),
• \( \lambda \) — среднее число событий.

Шаг 3: Нахождение нужной вероятности

Нас интересует вероятность того, что число звонков превысит 468. Это можно записать как:

\[ P(X > 468) = 1 - P(X \leq 468) \]

Шаг 4: Вычисление P(X ≤ 468)

Нам нужно вычислить \( P(X \leq 468) \), что можно сделать, просуммировав вероятности от \( k = 0 \) до \( k = 468 \):

\[ P(X \leq 468) = \sum_{k=0}^{468} P(X = k) \]

Однако вычисление такой суммы вручную затруднительно, и обычно в таких случаях применяются численные методы или специальные таблицы для распределения Пуассона.

Шаг 5: Использование нормального приближения

Поскольку число λ (360) велико, мы можем использовать нормальное распределение для приближения распределения Пуассона. По теореме Лапласа, распределение Пуассона с параметром λ можно приблизить нормальным распределением с параметрами:

\[ \mu = \lambda = 360 \] \[ \sigma = \sqrt{\lambda} \approx \sqrt{360} \approx 18.97 \]

Теперь мы можем стандартизировать значение 468 с помощью преобразования Z:

\[ Z = \frac{X - \mu}{\sigma} = \frac{468 - 360}{18.97} \approx 5.69 \]

Шаг 6: Нахождение вероятности с помощью Z-таблицы

Теперь находим вероятность соответствующую этому Z-значению. Для Z ≈ 5.69, вероятность \( P(Z \leq 5.69) \) будет близка к 1 (практически вся вероятность лежит под этим значением).

Шаг 7: Вычисление необходимой вероятности

Таким образом, вероятность того, что число звонков превышает 468, составит:

\[ P(X > 468) = 1 - P(X \leq 468) \approx 1 - 1 = 0 \]

Ответ

Вероятность того, что в течение следующего часа число звонков превысит 468, равна приближенно:

\[ \boxed{0.00} \]

Это означает, что вероятность такого события очень низка, и фактически в большинстве случаев количество звонков в час будет меньше 468.