20-x-x^2>0

Решим неравенство \(20 - x - x^2 > 0\). Для начала, приведем его к стандартному виду. 1. **Приведем неравенство к более простому виду.** Мы можем переписать его как: \[ -x^2 - x + 20 > 0 \] Умножим обе стороны на -1 (не забывая изменить знак неравенства): \[ x^2 + x - 20 < 0 \] 2. **Решим квадратное уравнение.** Сначала найдем корни квадратного уравнения \(x^2 + x - 20 = 0\) с помощью формулы корней: \[ x = \frac{-b \pm \sqrt{b^2 - 4ac}}{2a} \] где \(a = 1\), \(b = 1\), \(c = -20\). Подставим значения в формулу: \[ x = \frac{-1 \pm \sqrt{1^2 - 4 \cdot 1 \cdot (-20)}}{2 \cdot 1} = \frac{-1 \pm \sqrt{1 + 80}}{2} = \frac{-1 \pm \sqrt{81}}{2} = \frac{-1 \pm 9}{2} \] Таким образом, получаем два корня: \[ x_1 = \frac{-1 + 9}{2} = \frac{8}{2} = 4 \] \[ x_2 = \frac{-1 - 9}{2} = \frac{-10}{2} = -5 \] 3. **Найдем интервалы.** Теперь мы знаем, что функция \(x^2 + x - 20\) меняет знак в точках \(x = -5\) и \(x = 4\). Рассмотрим три интервала, которые получаем от этих корней: - \(x < -5\) - \(-5 < x < 4\) - \(x > 4\) 4. **Проверим знаки на каждом интервале.** - **Для \(x < -5\)** (например, \(x = -6\)): \[ (-6)^2 + (-6) - 20 = 36 - 6 - 20 = 10 > 0 \] - **Для \(-5 < x < 4\)** (например, \(x = 0\)): \[ 0^2 + 0 - 20 = -20 < 0 \] - **Для \(x > 4\)** (например, \(x = 5\)): \[ 5^2 + 5 - 20 = 25 + 5 - 20 = 10 > 0 \] 5. **Запишем решение.** Мы ищем, где выражение \(x^2 + x - 20\) меньше нуля. Из проверок видно, что это происходит на интервале: \[ -5 < x < 4 \] Итак, окончательное решение неравенства \(20 - x - x^2 > 0\) — это интервал: \[ (-5, 4) \] Это значит, что все значения \(x\) из этого интервала удовлетворяют неравенству.