20-x-x^2>0
Решим неравенство \(20 - x - x^2 > 0\). Для начала, приведем его к стандартному виду.
Приведем неравенство к более простому виду.
Мы можем переписать его как:
\[ -x^2 - x + 20 > 0 \]
Умножим обе стороны на -1 (не забывая изменить знак неравенства):
\[ x^2 + x - 20 < 0 \]
Решим квадратное уравнение.
Сначала найдем корни квадратного уравнения \(x^2 + x - 20 = 0\) с помощью формулы корней:
\[ x = \frac{-b \pm \sqrt{b^2 - 4ac}}{2a} \]
где \(a = 1\), \(b = 1\), \(c = -20\).
Подставим значения в формулу:
\[ x = \frac{-1 \pm \sqrt{1^2 - 4 \cdot 1 \cdot (-20)}}{2 \cdot 1} = \frac{-1 \pm \sqrt{1 + 80}}{2} = \frac{-1 \pm \sqrt{81}}{2} = \frac{-1 \pm 9}{2} \]
Таким образом, получаем два корня:
\[ x_1 = \frac{-1 + 9}{2} = \frac{8}{2} = 4 \] \[ x_2 = \frac{-1 - 9}{2} = \frac{-10}{2} = -5 \]
Найдем интервалы.
Теперь мы знаем, что функция \(x^2 + x - 20\) меняет знак в точках \(x = -5\) и \(x = 4\). Рассмотрим три интервала, которые получаем от этих корней:
- \(x < -5\)
- \(-5 < x < 4\)
- \(x > 4\)
Проверим знаки на каждом интервале.
- Для \(x < -5\) (например, \(x = -6\)): \[ (-6)^2 + (-6) - 20 = 36 - 6 - 20 = 10 > 0 \]
- Для \(-5 < x < 4\) (например, \(x = 0\)): \[ 0^2 + 0 - 20 = -20 < 0 \]
- Для \(x > 4\) (например, \(x = 5\)): \[ 5^2 + 5 - 20 = 25 + 5 - 20 = 10 > 0 \]
Запишем решение.
Мы ищем, где выражение \(x^2 + x - 20\) меньше нуля. Из проверок видно, что это происходит на интервале:
\[ -5 < x < 4 \]
Итак, окончательное решение неравенства \(20 - x - x^2 > 0\) — это интервал:
\[ (-5, 4) \]
Это значит, что все значения \(x\) из этого интервала удовлетворяют неравенству.
