Определите количество решений системы уравнений х2+у2=9 ху=7/2

Решим данную систему уравнений: 1. \( x^2 + y^2 = 9 \) (это уравнение окружности радиуса 3, центром в начале координат) 2. \( xy = \frac{7}{2} \) (это уравнение гиперболы) ### Шаг 1: Перепишем первое уравнение Первое уравнение \( x^2 + y^2 = 9 \) можно использовать для выражения одной переменной через другую. Например, выразим \( y^2 \): \[ y^2 = 9 - x^2 \] ### Шаг 2: Подставим значение \( y \) во второе уравнение Теперь подставим \( y \) из второго уравнения \( y = \frac{7}{2x} \), чтобы избавиться от переменной \( y \): \[ xy = \frac{7}{2} \implies y = \frac{7}{2x} \] Теперь можем заменить \( y \) в первом уравнении: \[ x^2 + \left(\frac{7}{2x}\right)^2 = 9 \] ### Шаг 3: Упростим уравнение Раскроем скобки: \[ x^2 + \frac{49}{4x^2} = 9 \] Следующим шагом умножим всё уравнение на \( 4x^2 \) (при условии, что \( x \neq 0 \)): \[ 4x^4 + 49 = 36x^2 \] ### Шаг 4: Приведём уравнение к стандартному виду Переместим все члены в одну сторону: \[ 4x^4 - 36x^2 + 49 = 0 \] ### Шаг 5: Замена переменной Чтобы упростить уравнение, сделаем замену \( z = x^2 \). Таким образом, у нас получится: \[ 4z^2 - 36z + 49 = 0 \] ### Шаг 6: Найдем дискриминант Найдём дискриминант \( D \): \[ D = b^2 - 4ac = (-36)^2 - 4 \cdot 4 \cdot 49 = 1296 - 784 = 512 \] ### Шаг 7: Найдём корни Корни уравнения находим по формуле: \[ z = \frac{-b \pm \sqrt{D}}{2a} = \frac{36 \pm \sqrt{512}}{2 \cdot 4} = \frac{36 \pm 16\sqrt{2}}{8} = \frac{9 \pm 4\sqrt{2}}{2} \] ### Шаг 8: Найдём значения \( x \) Теперь, для каждого \( z \) находим \( x^2 \): 1. \( z_1 = \frac{9 + 4\sqrt{2}}{2} \) 2. \( z_2 = \frac{9 - 4\sqrt{2}}{2} \) Теперь из каждого найденного \( z \) (если они положительные) можем найти \( x \): \[ x = \pm\sqrt{z} \] ### Шаг 9: Найдём количество решений Таким образом, каждое значение \( z \) даст два значения \( x \) (положительные и отрицательные), и соответственно два соответствующих значения \( y \) (поскольку \( y = \frac{7}{2x} \)). 1. Если оба \( z \) положительны, то: - \( z_1 \) даёт 2 решения для \( x \) ⇒ 2 решения для \( y \) - \( z_2 \) даёт 2 решения для \( x \) ⇒ 2 решения для \( y \) В итоге у нас 4 решения. ### Ответ Таким образом, количество решений данной системы уравнений — **4 решения**.