определите количество решений системы уравнений х2+у2=9 ху=7/2
Решим данную систему уравнений:
- \( x^2 + y^2 = 9 \) (это уравнение окружности радиуса 3, центром в начале координат)
- \( xy = \frac{7}{2} \) (это уравнение гиперболы)
Шаг 1: Перепишем первое уравнение
Первое уравнение \( x^2 + y^2 = 9 \) можно использовать для выражения одной переменной через другую. Например, выразим \( y^2 \):
\[ y^2 = 9 - x^2 \]
Шаг 2: Подставим значение \( y \) во второе уравнение
Теперь подставим \( y \) из второго уравнения \( y = \frac{7}{2x} \), чтобы избавиться от переменной \( y \):
\[ xy = \frac{7}{2} \implies y = \frac{7}{2x} \]
Теперь можем заменить \( y \) в первом уравнении:
\[ x^2 + \left(\frac{7}{2x}\right)^2 = 9 \]
Шаг 3: Упростим уравнение
Раскроем скобки:
\[ x^2 + \frac{49}{4x^2} = 9 \]
Следующим шагом умножим всё уравнение на \( 4x^2 \) (при условии, что \( x \neq 0 \)):
\[ 4x^4 + 49 = 36x^2 \]
Шаг 4: Приведём уравнение к стандартному виду
Переместим все члены в одну сторону:
\[ 4x^4 - 36x^2 + 49 = 0 \]
Шаг 5: Замена переменной
Чтобы упростить уравнение, сделаем замену \( z = x^2 \). Таким образом, у нас получится:
\[ 4z^2 - 36z + 49 = 0 \]
Шаг 6: Найдем дискриминант
Найдём дискриминант \( D \):
\[ D = b^2 - 4ac = (-36)^2 - 4 \cdot 4 \cdot 49 = 1296 - 784 = 512 \]
Шаг 7: Найдём корни
Корни уравнения находим по формуле:
\[ z = \frac{-b \pm \sqrt{D}}{2a} = \frac{36 \pm \sqrt{512}}{2 \cdot 4} = \frac{36 \pm 16\sqrt{2}}{8} = \frac{9 \pm 4\sqrt{2}}{2} \]
Шаг 8: Найдём значения \( x \)
Теперь, для каждого \( z \) находим \( x^2 \):
- \( z_1 = \frac{9 + 4\sqrt{2}}{2} \)
- \( z_2 = \frac{9 - 4\sqrt{2}}{2} \)
Теперь из каждого найденного \( z \) (если они положительные) можем найти \( x \):
\[ x = \pm\sqrt{z} \]
Шаг 9: Найдём количество решений
Таким образом, каждое значение \( z \) даст два значения \( x \) (положительные и отрицательные), и соответственно два соответствующих значения \( y \) (поскольку \( y = \frac{7}{2x} \)).
- Если оба \( z \) положительны, то:
- \( z_1 \) даёт 2 решения для \( x \) ⇒ 2 решения для \( y \)
- \( z_2 \) даёт 2 решения для \( x \) ⇒ 2 решения для \( y \)
В итоге у нас 4 решения.
Ответ
Таким образом, количество решений данной системы уравнений — 4 решения.
