Для того чтобы понять задачу, давайте разберемся с понятием периода колебаний и жесткости пружины.
Период колебаний пружинного маятника — это время, за которое маятник выполняет одно полное колебание. Период можно обозначить буквой ( T ).
Согласно закону Гука, период колебаний пружинного маятника зависит от жесткости пружины ( k ) и массы тела ( m ), которое подвешено на пружине. Формула для периода колебаний выглядит так:
[
T = 2\pi \sqrt{\frac{m}{k}}
]
где:
- ( T ) — период колебаний,
- ( m ) — масса тела,
- ( k ) — жесткость пружины.
Теперь давайте проанализируем ситуацию, когда мальчик заменил первую пружину на вторую и получил период колебаний ( T_2 ), который в два раза меньше, чем у первой пружины ( T_1 ):
[
T_2 = \frac{T_1}{2}
]
Подставив значения в формулу, получаем:
[
T_1 = 2\pi \sqrt{\frac{m}{k_1}} \quad \text{(для первой пружины)}
]
[
T_2 = 2\pi \sqrt{\frac{m}{k_2}} \quad \text{(для второй пружины)}
]
Поскольку ( T_2 = \frac{T_1}{2} ), то подставим его в уравнение:
[
2\pi \sqrt{\frac{m}{k_2}} = \frac{1}{2} \cdot 2\pi \sqrt{\frac{m}{k_1}}
]
Сократим ( 2\pi ) и получим:
[
\sqrt{\frac{m}{k_2}} = \frac{1}{2} \sqrt{\frac{m}{k_1}}
]
Теперь избавимся от корня, возведя обе стороны в квадрат:
[
\frac{m}{k_2} = \frac{1}{4} \cdot \frac{m}{k_1}
]
Сократим ( m ) (при условии что масса не нулевая):
[
\frac{1}{k_2} = \frac{1}{4k_1}
]
Теперь перевернем дробь:
[
k_2 = 4k_1
]
Таким образом, можно сделать вывод: жесткость второй пружины ( k_2 ) в 4 раза больше жесткости первой пружины ( k_1 ). Это означает, что вторая пружина является жестче первой.
Итак, резюмируя: Если период колебаний пружинного маятника уменьшился в два раза, значит, жесткость второй пружины в 4 раза больше по сравнению с первой пружиной.
