Давайте решим задачу по шагам и объясним каждое действие.
Дано:
- Пуговицы:
- Всего пуговиц: ( 13 + 31 = 44 )
1. Вероятность того, что обе пуговицы красного цвета.
Вероятность того, что первая пуговица красного цвета:
[
P_1(\text{красная}) = \frac{13}{44}
]
После того как мы достали одну красную пуговицу, в пакете осталось 12 красных и 43 пуговицы всего. Вероятность того, что вторая пуговица также красная:
[
P_2(\text{красная | первая красная}) = \frac{12}{43}
]
Теперь мы можем найти общую вероятность того, что обе пуговицы красные:
[
P(\text{обе красные}) = P_1(\text{красная}) \times P_2(\text{красная | первая красная}) = \frac{13}{44} \times \frac{12}{43}
]
Теперь произведем умножение:
[
P(\text{обе красные}) = \frac{13 \times 12}{44 \times 43} = \frac{156}{1892}
]
Теперь упростим дробь. Найдем НОД (наибольший общий делитель) 156 и 1892.
156 делится на 4:
[
156 \div 4 = 39,
]
1892 делится на 4:
[
1892 \div 4 = 473.
]
Таким образом, упрощенная дробь:
[
P(\text{обе красные}) = \frac{39}{473}.
]
Теперь вычислим это значение:
[
\frac{39}{473} \approx 0.0825 \implies 0.08 \text{ (округленно до двух знаков)}
]
2. Вероятность того, что обе пуговицы черного цвета.
Вероятность того, что первая пуговица черного цвета:
[
P_1(\text{черная}) = \frac{31}{44}
]
После того как мы достали одну черную пуговицу, в пакете осталось 30 черных и 43 пуговицы всего. Вероятность того, что вторая пуговица также черная:
[
P_2(\text{черная | первая черная}) = \frac{30}{43}
]
Теперь мы можем найти общую вероятность того, что обе пуговицы черные:
[
P(\text{обе черные}) = P_1(\text{черная}) \times P_2(\text{черная | первая черная}) = \frac{31}{44} \times \frac{30}{43}
]
Теперь произведем умножение:
[
P(\text{обе черные}) = \frac{31 \times 30}{44 \times 43} = \frac{930}{1892}
]
Теперь упростим дробь. Найдем НОД 930 и 1892.
930 делится на 2:
[
930 \div 2 = 465,
]
1892 делится на 2:
[
1892 \div 2 = 946.
]
Таким образом, дробь:
[
P(\text{обе черные}) = \frac{465}{946}.
]
Теперь посчитаем это значение:
[
\frac{465}{946} \approx 0.4909 \implies 0.49 \text{ (округленно до двух знаков)}
]
Ответ:
- Вероятность того, что обе пуговицы красного цвета: 0.08
- Вероятность того, что обе пуговицы черного цвета: 0.49
