Чтобы решить задачу, нужно сначала понять, что такое потенциальная энергия кулоновского взаимодействия и как она рассчитывается для системы нескольких зарядов.
Шаг 1: Формула для потенциальной энергии
Потенциальная энергия двух точечных зарядов (q_1) и (q_2) на расстоянии (r) друг от друга определяется формулой:
[
U = k \cdot \frac{q_1 \cdot q_2}{r}
]
где:
- (U) — потенциальная энергия,
- (k) — электрическая постоянная (в общем случае, можно игнорировать для соотношений),
- (q_1) и (q_2) — величины зарядов,
- (r) — расстояние между зарядами.
Шаг 2: Определение зарядов и расстояний
В этой задаче у нас есть четыре заряда, каждый величиной (2q), размещённых в вершинах правильного тетраэдра со стороной (4r).
Шаг 3: Расчёт расстояний
Правильный тетраэдр имеет шесть рёбер, каждое из которых имеет одинаковую длину. Все рёбра тетраэдра равны (4r).
Шаг 4: Рассчитаем потенциальную энергию для всех пар зарядов
Для четырёх зарядов (2q) в вершинах тетраэдра, нам нужно посчитать потенциальную энергию для каждой из шести пар зарядов. Так как у нас 4 заряда, общее количество пар можно определить с помощью формулы комбинаторики:
[
C(4, 2) = \frac{4!}{2!(4-2)!} = 6
]
Теперь мы можем посчитать потенциальную энергию для одной пары зарядов:
[
U_{pair} = k \cdot \frac{(2q) \cdot (2q)}{4r} = k \cdot \frac{4q^2}{4r} = k \cdot \frac{q^2}{r}
]
Шаг 5: Общая энергия системы
Теперь мы умножим потенциальную энергию одной пары на количество пар (6):
[
U_{total} = 6 \cdot U_{pair} = 6 \cdot k \cdot \frac{q^2}{r}
]
Шаг 6: Связка с энергіей E
Из условия задачи известно, что энергия двух зарядов величиной (g), помещённых на расстоянии (t), равна (E). Если мы проведем аналогию и представим, что (g = 2q) и (t = r), мы можем выразить потенциальную энергию для этой конфигурации в терминах (E).
Итоговое выражение:
Таким образом, если обозначить (k \cdot \frac{g^2}{t} = E), тогда можно выразить полную потенциальную энергию системы (U_{total}) через (E):
[
U_{total} = 6 \cdot k \cdot \frac{(2q)^2}{4r} = 6 \cdot \frac{4q^2}{4r} = 6 \cdot k \cdot \frac{q^2}{r}
]
Итак, если взять за аналогию:
[
k \cdot \frac{g^2}{r} = E \text{ (где g = 2q и t = r)}
]
После подстановки, получается в виде:
[
U_{total} = 3E
]
Ответ:
Таким образом, потенциальная энергия системы четырёх зарядов (2q), размещённых в вершинах правильного тетраэдра со стороной (4r), будет равна (3E).
Ответ: 3E
