Чтобы найти радиус окружности, вписанной в правильный треугольник с известной высотой, нужно ознакомиться с некоторыми свойствами правильного треугольника (равностороннего).
Шаг 1: Понимание свойств правильного треугольника
Параметры правильного треугольника:
- Все стороны равны. Обозначим длину стороны ( a ).
- Высота ( h ) правильного треугольника может быть найдена по формуле:
[
h = \frac{\sqrt{3}}{2} a
]
Радиус вписанной окружности:
- Радиус ( r ) вписанной окружности правильного треугольника можно выразить через сторону треугольника:
[
r = \frac{a \sqrt{3}}{6}
]
Шаг 2: Найти сторону треугольника
Исходя из заданной высоты ( h = 96 ), мы можем использовать формулу высоты треугольника для нахождения стороны ( a ):
[
h = \frac{\sqrt{3}}{2} a
]
Подставим известное значение высоты:
[
96 = \frac{\sqrt{3}}{2} a
]
Теперь решим уравнение относительно ( a ):
Умножим обе стороны на 2:
[
192 = \sqrt{3} a
]
Разделим обе стороны на ( \sqrt{3} ):
[
a = \frac{192}{\sqrt{3}}
]
Упростим ( a ):
[
a = \frac{192 \sqrt{3}}{3} = 64 \sqrt{3}
]
Шаг 3: Найти радиус вписанной окружности
Теперь, когда мы знаем, что ( a = 64 \sqrt{3} ), подставим это значение в формулу радиуса:
[
r = \frac{a \sqrt{3}}{6} = \frac{64 \sqrt{3} \cdot \sqrt{3}}{6} = \frac{64 \cdot 3}{6} = \frac{192}{6} = 32
]
Ответ
Радиус окружности, вписанной в правильный треугольник с высотой 96, равен ( r = 32 ).
