В портфеле акционера Б. могут быть акции ценой 100, 200, 300, 400 и 500 р. Акционер подсчитал и выяснил, что средняя цена его акции равна 288 рублей с копейками. Тогда Б. купил…
В портфеле акционера Б. могут быть акции ценой 100, 200, 300, 400 и 500 р. Акционер подсчитал и выяснил, что средняя цена его акции равна 288 рублей с копейками. Тогда Б. купил ещё одну акцию за 500 р, но средняя цена его акций всё равно не достигла 320 р. Какое наименьшее количество акций могло быть у Б. до покупки последней акции?
Чтобы решить задачу, давайте обозначим количество акций, которые изначально были у акционера Б., как \( n \), а общую стоимость этих акций — как \( S \).
Шаг 1. Найдем первоначальную среднюю цену акций
Дано, что средняя цена акций равна 288 рублей. Из этого следует, что:
\[ \frac{S}{n} = 288 \]
Таким образом, общая стоимость акций выражается как:
\[ S = 288n \]
Шаг 2. Учет покупки новой акции
После покупки одной акции за 500 рублей общее количество акций станет \( n + 1 \), а общая стоимость — \( S + 500 \). Новая средняя цена тогда выглядит так:
\[ \frac{S + 500}{n + 1} \]
Но нам известно, что эта новая средняя цена не достигла 320 рублей. Это можно записать неравенством:
\[ \frac{S + 500}{n + 1} < 320 \]
Теперь подставим значение \( S \):
\[ \frac{288n + 500}{n + 1} < 320 \]
Шаг 3. Упрощение неравенства
Умножим обе стороны неравенства на \( n + 1 \) (так как \( n + 1 > 0 \)):
\[ 288n + 500 < 320(n + 1) \]
Теперь раскроем скобки:
\[ 288n + 500 < 320n + 320 \]
Переносим все слагаемые, содержащие \( n \), в одну сторону, а константы — в другую:
\[ 500 - 320 < 320n - 288n \]
\[ 180 < 32n \]
Делим обе стороны на 32:
\[ \frac{180}{32} < n \]
Шаг 4. Упрощение дроби
Упростим дробь:
\[ \frac{180}{32} = \frac{45}{8} = 5.625 \]
Таким образом, \( n > 5.625 \). Поскольку \( n \) — это количество акций, то \( n \) должно быть целым числом. Следовательно, наименьшее целое \( n \) равно 6.
Шаг 5. Проверка
Теперь проверим, подходит ли \( n = 6 \):
Найдем общую стоимость акций: \[ S = 288n = 288 \times 6 = 1728 \text{ рублей} \]
После покупки одной акции за 500 рублей, общая стоимость станет: \[ S + 500 = 1728 + 500 = 2228 \text{ рублей} \]
Общее количество акций теперь: \[ n + 1 = 6 + 1 = 7 \]
Найдем новую среднюю цену: \[ \frac{2228}{7} = 318.2857 \text{ рублей} \]
Это число меньше 320 рублей, что соответствует условию задачи.
Ответ
Таким образом, наименьшее количество акций, которые могло быть у акционера Б. до покупки последней акции, составляет 6.
