Знайти sina, tga i ctga, cos alpha = 1/3

Чтобы найти значения тригонометрических функций \( \sin(\alpha) \), \( \tan(\alpha) \) и \( \cot(\alpha) \), если дано \( \cos(\alpha) = \frac{1}{3} \), воспользуемся основными тригонометрическими соотношениями. 1. **Найдём \( \sin(\alpha) \)**. Согласно основному тригонометрическому идентификатору, для любого угла \( \alpha \) выполняется следующее равенство: \[ \sin^2(\alpha) + \cos^2(\alpha) = 1 \] Подставим известное значение: \[ \sin^2(\alpha) + \left(\frac{1}{3}\right)^2 = 1 \] Вычислим: \[ \sin^2(\alpha) + \frac{1}{9} = 1 \] Переносим \( \frac{1}{9} \) на правую сторону: \[ \sin^2(\alpha) = 1 - \frac{1}{9} = \frac{9}{9} - \frac{1}{9} = \frac{8}{9} \] Теперь извлечём квадратный корень, чтобы найти \( \sin(\alpha) \): \[ \sin(\alpha) = \sqrt{\frac{8}{9}} = \frac{\sqrt{8}}{3} = \frac{2\sqrt{2}}{3} \] Обратите внимание, что значение \( \sin(\alpha) \) может быть как положительным, так и отрицательным, но обычно рассматривается в первом квадранте, где обе функции положительные. 2. **Найдём \( \tan(\alpha) \)**. Формула для тангенса: \[ \tan(\alpha) = \frac{\sin(\alpha)}{\cos(\alpha)} \] Теперь подставим найденные значения: \[ \tan(\alpha) = \frac{\frac{2\sqrt{2}}{3}}{\frac{1}{3}} = 2\sqrt{2} \] 3. **Найдём \( \cot(\alpha) \)**. Формула для котангенса: \[ \cot(\alpha) = \frac{1}{\tan(\alpha)} \] Следовательно, \[ \cot(\alpha) = \frac{1}{2\sqrt{2}} = \frac{\sqrt{2}}{4} \] 4. **Итак, окончательные результаты**: - \( \sin(\alpha) = \frac{2\sqrt{2}}{3} \) - \( \tan(\alpha) = 2\sqrt{2} \) - \( \cot(\alpha) = \frac{\sqrt{2}}{4} \) Если у вас есть дополнительные вопросы или нужна помощь по другой задаче, не стесняйтесь спрашивать!