Знайти sina, tga i ctga, cos alpha = 1/3
Чтобы найти значения тригонометрических функций \( \sin(\alpha) \), \( \tan(\alpha) \) и \( \cot(\alpha) \), если дано \( \cos(\alpha) = \frac{1}{3} \), воспользуемся основными тригонометрическими соотношениями.
- Найдём \( \sin(\alpha) \).
Согласно основному тригонометрическому идентификатору, для любого угла \( \alpha \) выполняется следующее равенство:
\[ \sin^2(\alpha) + \cos^2(\alpha) = 1 \]
Подставим известное значение:
\[ \sin^2(\alpha) + \left(\frac{1}{3}\right)^2 = 1 \]
Вычислим:
\[ \sin^2(\alpha) + \frac{1}{9} = 1 \]
Переносим \( \frac{1}{9} \) на правую сторону:
\[ \sin^2(\alpha) = 1 - \frac{1}{9} = \frac{9}{9} - \frac{1}{9} = \frac{8}{9} \]
Теперь извлечём квадратный корень, чтобы найти \( \sin(\alpha) \):
\[ \sin(\alpha) = \sqrt{\frac{8}{9}} = \frac{\sqrt{8}}{3} = \frac{2\sqrt{2}}{3} \]
Обратите внимание, что значение \( \sin(\alpha) \) может быть как положительным, так и отрицательным, но обычно рассматривается в первом квадранте, где обе функции положительные.
- Найдём \( \tan(\alpha) \).
Формула для тангенса:
\[ \tan(\alpha) = \frac{\sin(\alpha)}{\cos(\alpha)} \]
Теперь подставим найденные значения:
\[ \tan(\alpha) = \frac{\frac{2\sqrt{2}}{3}}{\frac{1}{3}} = 2\sqrt{2} \]
- Найдём \( \cot(\alpha) \).
Формула для котангенса:
\[ \cot(\alpha) = \frac{1}{\tan(\alpha)} \]
Следовательно,
\[ \cot(\alpha) = \frac{1}{2\sqrt{2}} = \frac{\sqrt{2}}{4} \]
- Итак, окончательные результаты:
- \( \sin(\alpha) = \frac{2\sqrt{2}}{3} \)
- \( \tan(\alpha) = 2\sqrt{2} \)
- \( \cot(\alpha) = \frac{\sqrt{2}}{4} \)
Если у вас есть дополнительные вопросы или нужна помощь по другой задаче, не стесняйтесь спрашивать!
