Выясните, имеет ли система решения и сколько: а) {4y - x = 12 { 3y + x = -3

Для решения данной системы уравнений начнем с изучения каждой из двух уравнений. У нас есть: 1. \( 4y - x = 12 \) 2. \( 3y + x = -3 \) Поскольку у нас имеются две переменные (x и y) и два уравнения, мы можем использовать метод подстановки или метод сложения (вычитания) для нахождения решения. ### Шаг 1: Выразим одну переменную через другую Начнем с первого уравнения и выразим \( x \) через \( y \): \[ x = 4y - 12 \quad \text{(перенесли -x на правую сторону)} \] ### Шаг 2: Подставим выражение для x во второе уравнение Теперь мы подставим найденное значение \( x \) во второе уравнение: \[ 3y + (4y - 12) = -3 \] Упрощаем: \[ 3y + 4y - 12 = -3 \] \[ 7y - 12 = -3 \] ### Шаг 3: Решим это уравнение относительно y Теперь добавим 12 к обеим сторонам: \[ 7y = 9 \] Теперь разделим обе стороны на 7: \[ y = \frac{9}{7} \] ### Шаг 4: Найдем x, подставив y обратно Теперь мы можем найти значение \( x \), подставив \( y \) обратно в выражение, которое мы получили на шаге 1: \[ x = 4\left(\frac{9}{7}\right) - 12 \] Упрощаем: \[ x = \frac{36}{7} - 12 \] Чтобы вычесть 12, приведем его к дробному виду: \[ 12 = \frac{84}{7} \] Теперь: \[ x = \frac{36}{7} - \frac{84}{7} = \frac{36 - 84}{7} = \frac{-48}{7} \] ### Шаг 5: Записываем окончательное решение Таким образом, мы нашли: \[ x = \frac{-48}{7}, \quad y = \frac{9}{7} \] ### Шаг 6: Проверка Для уверенности в том, что наше решение верное, можем подставить значения \( x \) и \( y \) обратно в оба уравнения. 1. Проверим первое уравнение: \[ 4\left(\frac{9}{7}\right) - \left(\frac{-48}{7}\right) = 12 \] \[ \frac{36}{7} + \frac{48}{7} = 12 \Rightarrow \frac{84}{7} = 12 \text{ (верно)} \] 2. Проверим второе уравнение: \[ 3\left(\frac{9}{7}\right) + \left(\frac{-48}{7}\right) = -3 \] \[ \frac{27}{7} - \frac{48}{7} = -3 \Rightarrow \frac{-21}{7} = -3 \text{ (верно)} \] Таким образом, система имеет решение, и оно единственное: \[ \left(x, y\right) = \left(\frac{-48}{7}, \frac{9}{7}\right) \]