Выясните, имеет ли система решения и сколько: а) {4y - x = 12 { 3y + x = -3
Для решения данной системы уравнений начнем с изучения каждой из двух уравнений. У нас есть:
- \( 4y - x = 12 \)
- \( 3y + x = -3 \)
Поскольку у нас имеются две переменные (x и y) и два уравнения, мы можем использовать метод подстановки или метод сложения (вычитания) для нахождения решения.
Шаг 1: Выразим одну переменную через другую
Начнем с первого уравнения и выразим \( x \) через \( y \):
\[ x = 4y - 12 \quad \text{(перенесли -x на правую сторону)} \]
Шаг 2: Подставим выражение для x во второе уравнение
Теперь мы подставим найденное значение \( x \) во второе уравнение:
\[ 3y + (4y - 12) = -3 \]
Упрощаем:
\[ 3y + 4y - 12 = -3 \]
\[ 7y - 12 = -3 \]
Шаг 3: Решим это уравнение относительно y
Теперь добавим 12 к обеим сторонам:
\[ 7y = 9 \]
Теперь разделим обе стороны на 7:
\[ y = \frac{9}{7} \]
Шаг 4: Найдем x, подставив y обратно
Теперь мы можем найти значение \( x \), подставив \( y \) обратно в выражение, которое мы получили на шаге 1:
\[ x = 4\left(\frac{9}{7}\right) - 12 \]
Упрощаем:
\[ x = \frac{36}{7} - 12 \]
Чтобы вычесть 12, приведем его к дробному виду:
\[ 12 = \frac{84}{7} \]
Теперь:
\[ x = \frac{36}{7} - \frac{84}{7} = \frac{36 - 84}{7} = \frac{-48}{7} \]
Шаг 5: Записываем окончательное решение
Таким образом, мы нашли:
\[ x = \frac{-48}{7}, \quad y = \frac{9}{7} \]
Шаг 6: Проверка
Для уверенности в том, что наше решение верное, можем подставить значения \( x \) и \( y \) обратно в оба уравнения.
Проверим первое уравнение: \[ 4\left(\frac{9}{7}\right) - \left(\frac{-48}{7}\right) = 12 \] \[ \frac{36}{7} + \frac{48}{7} = 12 \Rightarrow \frac{84}{7} = 12 \text{ (верно)} \]
Проверим второе уравнение: \[ 3\left(\frac{9}{7}\right) + \left(\frac{-48}{7}\right) = -3 \] \[ \frac{27}{7} - \frac{48}{7} = -3 \Rightarrow \frac{-21}{7} = -3 \text{ (верно)} \]
Таким образом, система имеет решение, и оно единственное:
\[ \left(x, y\right) = \left(\frac{-48}{7}, \frac{9}{7}\right) \]
