Для решения задачи начнем с определения формулы для потенциальной энергии системы зарядов.
Шаг 1: Потенциальная энергия для двух зарядов
Потенциальная энергия ( E ) двух зарядов ( q ), находящихся на расстоянии ( r ), определяется законом Кулона:
[
E = k \frac{q_1 q_2}{r}
]
где ( k ) — постоянная Кулона, ( q_1 = q ) и ( q_2 = q ), задаем:
[
E = k \frac{q^2}{r}
]
Шаг 2: Потенциальная энергия для четырех зарядов
Теперь мы хотим рассчитать потенциальную энергию системы из четырех зарядов ( 4q ), расположенных в вершинах правильного тетраэдра со стороной ( 6r ).
Определение расстояний
В правильном тетраэдре все рёбра равны. Для четырех зарядов в вершинах тетрады можем вычислить потенциальную энергию, учитывая, что:
- Все пары зарядов имеют одинаковые расстояния.
Поскольку длина ребра тетраэдра равна ( 6r ), будет 6 пар зарядов, находящихся друг от друга на этом расстоянии:
[
d = 6r
]
Шаг 3: Потенциальная энергия системы
Для каждой пары зарядов ( 4q ) потенциальная энергия может быть вычислена по той же формуле Кулона:
[
E_{pairs} = k \frac{q_1 q_2}{d}
]
где ( q_1 = 4q ) и ( q_2 = 4q ):
[
E_{pair} = k \frac{(4q)(4q)}{6r} = k \frac{16q^2}{6r} = \frac{8k q^2}{3r}
]
Теперь поскольку у нас есть 6 таких пар:
[
E_{total} = 6 \cdot E_{pair} = 6 \cdot \frac{8k q^2}{3r}
]
Шаг 4: Подсчитаем общую энергетику
Теперь подставим и упростим:
[
E_{total} = \frac{48 k q^2}{3r} = 16 k \frac{q^2}{r}
]
Теперь вспомним, что мы определили ( E ) для системы из двух зарядов:
[
E = k \frac{q^2}{r} \quad \Rightarrow \quad E_{total} = 16E
]
Ответ
Таким образом, потенциальная энергия системы из четырех зарядов ( 4q ), размещенных в вершинах правильного тетраэдра со стороной ( 6r ), равна ( 16E ).
