2.вычислите: а) 7+3^√-216; б) 9-4^√2401; в) 4^√3×4^√27; г) 3^√128/5^√4.
Для решения данной задачи разберем каждое выражение по отдельности. Мы будем использовать свойства корней и возведения в степень.
а) \( 7 + 3^{\sqrt{-216}} \)
Здесь мы видим выражение с квадратным корнем из отрицательного числа, что является комплексным числом. Мы можем упростить следующим образом:
Извлекаем квадратный корень из \(-216\): \[ \sqrt{-216} = \sqrt{216} \cdot \sqrt{-1} = 6\sqrt{6}i \quad (\text{так как } \sqrt{-1} = i) \]
Теперь подставляем это значение в выражение: \[ 3^{\sqrt{-216}} = 3^{6\sqrt{6}i} \] Это выражение можно оставить в таком виде или использовать формулу Эйлера для дальнейшего анализа.
Таким образом: \[ 7 + 3^{\sqrt{-216}} = 7 + 3^{6\sqrt{6}i} \]
б) \( 9 - 4^{\sqrt{2401}} \)
Находим квадратный корень из \(2401\): \[ \sqrt{2401} = 49 \quad (\text{так как } 49 \times 49 = 2401) \]
Теперь подставляем значение в \(4^{49}\): \[ 4^{\sqrt{2401}} = 4^{49} = (2^2)^{49} = 2^{98} \]
Теперь рассчитаем всё выражение: \[ 9 - 4^{49} = 9 - 2^{98} \]
в) \( 4^{\sqrt{3}} \times 4^{\sqrt{27}} \)
Сначала упростим: \[ 4^{\sqrt{3}} \times 4^{\sqrt{27}} = 4^{\sqrt{3} + \sqrt{27}} \]
Поскольку \( \sqrt{27} = 3\sqrt{3} \), подставляем: \[ 4^{\sqrt{3} + 3\sqrt{3}} = 4^{4\sqrt{3}} \]
Записываем итог: \[ 4^{4\sqrt{3}} = (2^2)^{4\sqrt{3}} = 2^{8\sqrt{3}} \]
г) \( \frac{3^{\sqrt{128}}}{5^{\sqrt{4}}} \)
Упростим каждую часть: \[ \sqrt{128} = 8\quad (\text{так как } 8 \times 8 = 64, \text{ а } 128 = 2^7) \] \[ \sqrt{4} = 2 \]
Теперь можем выразить деление: \[ \frac{3^{\sqrt{128}}}{5^{\sqrt{4}}} = \frac{3^8}{5^2} \]
Таким образом, подводя итог к каждой задаче, мы получили:
- а) \( 7 + 3^{6\sqrt{6}i} \)
- б) \( 9 - 2^{98} \)
- в) \( 2^{8\sqrt{3}} \)
- г) \( \frac{3^8}{5^2} \)
Надеюсь, объяснения ясны! Если есть вопросы, не стесняйтесь задавать!
