докажи неравенство
Чтобы доказать неравенство \(7(b^2 + 5) \geq 10(b - 2)\), давайте преобразуем его и упростим:
Раскрытие скобок:
\[ 7(b^2 + 5) = 7b^2 + 35 \]
\[ 10(b - 2) = 10b - 20 \]
Теперь у нас есть неравенство:
\[ 7b^2 + 35 \geq 10b - 20 \]
Перенесение всех членов на одну сторону:
\[ 7b^2 + 35 - 10b + 20 \geq 0 \]
Упрощаем:
\[ 7b^2 - 10b + 55 \geq 0 \]
Проверка:
Квадратное неравенство \(7b^2 - 10b + 55 \geq 0\) можно проверить с помощью анализа коэффициентов.
- \(a = 7\), \(b = -10\), \(c = 55\).
- Дискриминант \(D = b^2 - 4ac = (-10)^2 - 4 \times 7 \times 55 = 100 - 1540 = -1440\).
Поскольку дискриминант отрицательный (\(D < 0\)), квадратное уравнение не имеет действительных корней, и, поскольку старший коэффициент \(a = 7 > 0\), парабола не пересекает ось абсцисс и всегда выше оси абсцисс.
Следовательно, неравенство выполняется для всех действительных \(b\).
Таким образом, доказано, что \(7(b^2 + 5) \geq 10(b - 2)\) для любого действительного значения \(b\).
