.
Для решения задачи давайте упростим выражение:
\[ \left(\frac{a}{a-b} - \frac{a+b}{a}\right) \cdot \frac{a-b}{2b} \]
Шаг 1: Найдем общий знаменатель
Для упрощения первой части выражения \(\frac{a}{a-b} - \frac{a+b}{a}\), нам нужно найти общий знаменатель:
- Знаменатели: \(a-b\) и \(a\).
- Общий знаменатель: \(a(a-b)\).
Перепишем дроби с общим знаменателем:
\[ \frac{a^2}{a(a-b)} - \frac{(a+b)(a-b)}{a(a-b)} \]
Шаг 2: Преобразуем вторую дробь
Преобразуем числитель второй дроби:
\[ (a+b)(a-b) = a^2 - ab + ba - b^2 = a^2 - b^2 \]
Теперь у нас:
\[ \frac{a^2}{a(a-b)} - \frac{a^2 - b^2}{a(a-b)} \]
Шаг 3: Выполним вычитание
Выражение становится:
\[ \frac{a^2 - (a^2 - b^2)}{a(a-b)} = \frac{b^2}{a(a-b)} \]
Шаг 4: Упростим произведение
Теперь умножим упрощенное выражение на вторую часть:
\[ \frac{b^2}{a(a-b)} \cdot \frac{a-b}{2b} \]
Сократим \(a-b\):
\[ \frac{b^2}{a} \cdot \frac{1}{2b} = \frac{b}{2a} \]
Таким образом, упрощенное выражение:
\[ \frac{b}{2a} \]
Это и есть итоговый результат упрощения исходного выражения.
