построить график функции: y=log 1/3x

Давайте подробно разберем, как построить график функции \( y = \log_{1/3}(x) \).

Шаг 1: Свойства логарифмической функции

Функция \( y = \log_{a}(x) \) имеет следующие основные свойства:

• Если \( a > 1 \), функция возрастает.
• Если \( 0 < a < 1 \), функция убывает.
• Функция определена только для \( x > 0 \).
• Логарифмическая функция пересекает ось \( x \) в точке \( (1, 0) \), так как \( \log_{a}(1) = 0 \) для любого \( a \).

В нашем случае основание логарифма \( a = \frac{1}{3} \), что меньше 1. Это означает, что функция будет убывать.

Шаг 2: Находим ключевые точки

Поскольку логарифмическая функция определяется только для положительных \( x \), мы можем найти несколько значений \( y \) для различных \( x \):

1. \( x = 1 \): \[ y = \log_{1/3}(1) = 0 \] Точка: \( (1, 0) \)

2. \( x = 3 \): \[ y = \log_{1/3}(3) \] Чтобы найти это значение, воспользуемся свойством логарифмов: \[ \log_{1/3}(3) = \frac{1}{\log_{3}(1/3)} = \frac{1}{-1} = -1 \] Точка: \( (3, -1) \)

3. \( x = \frac{1}{3} \): \[ y = \log_{1/3}\left(\frac{1}{3}\right) = 1 \] Точка: \( \left(\frac{1}{3}, 1\right) \)

4. \( x = 9 \): \[ y = \log_{1/3}(9) \] Аналогично: \[ \log_{1/3}(9) = \frac{1}{\log_{3}(1/3)} = \frac{2}{-1} = -2 \] Точка: \( (9, -2) \)

Шаг 3: Построение графика

Теперь, когда мы нашли ключевые точки, мы можем построить график:

1. Нанесите точки: \( (1, 0) \), \( (3, -1) \), \( \left(\frac{1}{3}, 1\right) \), и \( (9, -2) \).
2. Соедините точки плавной кривой, которая будет убывать, начиная с \( (0, +\infty) \) при \( x \to 0^+ \) и стремясь к \( y = -\infty \), когда \( x \to +\infty \).
3. Не забудьте отметить ось абсцисс (где \( y = 0 \)) и ось ординат (где \( x = 0 \)).

Итог

График функции \( y = \log_{1/3}(x) \) будет угловато убывающей кривой, которая проходит через указанные ключевые точки и никогда не пересекает ось \( y \) (это означает, что log функция не принимает отрицательные значения).

Если у вас есть дополнительные вопросы или вам нужно больше информации, дайте знать!