Давайте решим эту задачу, шаг за шагом.
Шаг 1: Определение условий задачи
Мы знаем следующее:
- Шарик имеет радиус ( r = 4 ) см (или ( 0.04 ) м), массу ( m = 2 ) г (или ( 0.002 ) кг).
- Температура воздуха ( T = 28 , \text{°C} ), что соответствует ( T = 28 + 273 = 301 , \text{K} ).
- Молярная масса воздуха ( M = 29 , \text{г/моль} ) (или ( 0.029 , \text{кг/моль} )).
- Мы хотим найти минимальное значение давления, при котором шарик начинает подниматься.
Шаг 2: Рассмотрим силы, действующие на шарик
Шарик будет подниматься, когда подъемная сила будет больше, чем сила тяжести, действующая на него. Подъемная сила ( F_{\text{выталкивающая}} ) определяется по закону Архимеда:
[
F_{\text{выталкивающая}} = V \cdot \rho_{\text{жидкость}} \cdot g
]
где:
- ( V ) — объем шарика,
- ( \rho_{\text{жидкость}} ) — плотность воздуха в нашем случае,
- ( g ) — ускорение свободного падения (примерно ( 9.81 , \text{м/с}^2 )).
Сила тяжести на шарик:
[
F_{\text{тяжести}} = m \cdot g
]
Шаг 3: Рассчитаем объем шарика
Объем полого шарика рассчитывается по формуле для объема сферы:
[
V = \frac{4}{3}\pi r^3
]
Подставляем радиус:
[
V = \frac{4}{3}\pi (0.04)^3 \approx \frac{4}{3} \cdot 3.14 \cdot 0.000064 = 0.000268 , \text{м}^3
]
Шаг 4: Найдем плотность воздуха
Для определения плотности воздуха используем уравнение состояния идеального газа:
[
PV = nRT
]
где:
- ( P ) — давление,
- ( V ) — объем,
- ( n ) — количество вещества (в молях),
- ( R ) — универсальная газовая постоянная (( 8.314 , \text{Дж/(моль·К)} )),
- ( T ) — температура в кельвинах.
Чтобы найти плотность ( \rho ), воспользуемся формулой:
[
\rho = \frac{m}{V}
]
Нам нужно привести ( P = \rho RT ). Распишем плотность через молярную массу:
[
\rho = \frac{M}{V_m} = \frac{M \cdot P}{RT}
]
Шаг 5: Подставляем формулы
Имея все данные, можем приравнять подъемную силу к силе тяжести:
[
\frac{4}{3}\pi r^3 \cdot \rho \cdot g = m \cdot g
]
Следовательно, можно упростить:
[
\frac{4}{3}\pi (0.04)^3 \cdot \rho = 0.002
]
Подъемная сила равна весу:
[
\rho = \frac{0.002}{\frac{4}{3}\pi (0.04)^3} = \frac{0.002}{0.000268} \approx 7.46 , \text{кг/м}^3
]
Шаг 6: Подставляем в уравнение состояния
Теперь подставим полученную плотность обратно:
[
\rho = \frac{P \cdot M}{R \cdot T}
]
Найдем ( P ):
[
P = \rho \cdot \frac{R \cdot T}{M} \approx 7.46 \cdot \frac{8.314 \cdot 301}{0.029}
]
Применив численные значения:
- Расчитаем ( R \cdot T ):
[
R \cdot T \approx 8.314 \cdot 301 \approx 2500.714 , \text{Дж/моль}
]
- Находим итоговое давление:
[
P \approx 7.46 \cdot \frac{2500.714}{0.029} \approx 643.054 ,\text{Па} \approx 0.643 , \text{кПа} = 0.000643 , \text{МПа}
]
Таким образом, минимальное давление, при котором шарик оторвётся от дна резервуара, составляет 0.0006 МПа.
Ответ
Округляем до десятых: 0.0 МПа.
