Алгебра Самостоятельная работа по теме: «Системы линейных уравнений с двумя перемеиными» Вариант № 1 1. Решите системы уравнений: - методом подстановки (а, б) - методом…

Давайте решим предложенные системы уравнений по указанным методам. Начнем с первой системы.

Система уравнений 1:

1. \( y = 2x + 5 \)
2. \( 5x - 7y = -24 \)

Метод подстановки:

1. Используем первое уравнение для подстановки значения \( y \) во второе: \[ 5x - 7(2x + 5) = -24 \] Раскрываем скобки: \[ 5x - 14x - 35 = -24 \] Суммируем: \[ -9x - 35 = -24 \] Переносим -35 в правую сторону: \[ -9x = -24 + 35 \] \[ -9x = 11 \] Разделим обе стороны на -9: \[ x = -\frac{11}{9} \]

2. Теперь подставим найденное значение \( x \) обратно в первое уравнение для нахождения \( y \): \[ y = 2\left(-\frac{11}{9}\right) + 5 \] \[ y = -\frac{22}{9} + \frac{45}{9} = \frac{23}{9} \]

Таким образом, решение данной системы уравнений:
\[ x = -\frac{11}{9}, \quad y = \frac{23}{9} \]

Метод алгебраического сложения:

1. Умножим первое уравнение на 7, чтобы коэффициенты перед \( y \) были одинаковыми: \[ 7y = 14x + 35 \] \[ 5x - 7y = -24 \quad \Rightarrow \quad -7y = -5x - 24 \]

Теперь у нас следующая система:

1. \( 7y = 14x + 35 \)

2. \( -5x - 7y = -24 \)

3. Теперь сложим эти два уравнения: \[ (14x + 35) + (-5x - 7y) = 0 - 24 \] Упростим это: \[ 14x - 5x + 35 = -24 \quad \Rightarrow \quad 9x + 35 = -24 \] \[ 9x = -24 - 35 \] \[ 9x = -59 \] \[ x = -\frac{59}{9} \]

4. Подставим \( x \) обратно в первое уравнение для получения \( y \): \[ y = 2\left(-\frac{59}{9}\right) + 5 \] \[ y = -\frac{118}{9} + \frac{45}{9} = -\frac{73}{9} \]

Таким образом, решение данной системы по методу сложения:
\[ x = -\frac{59}{9}, \quad y = -\frac{73}{9} \]

Система уравнений 2:

1. \( 2x + 3y = 31 \)
2. \( x = -3y + 4 \)

Метод подстановки:

1. Подставим второе уравнение в первое: \[ 2(-3y + 4) + 3y = 31 \] Раскрываем скобки: \[ -6y + 8 + 3y = 31 \] Упрощаем: \[ -3y + 8 = 31 \] \[ -3y = 31 - 8 \] \[ -3y = 23 \] \[ y = -\frac{23}{3} \]

2. Подставим \( y \) обратно для нахождения \( x \): \[ x = -3\left(-\frac{23}{3}\right) + 4 = 23 + 4 = 27 \]

Решение данной системы:
\[ x = 27, \quad y = -\frac{23}{3} \]

Метод алгебраического сложения:

1. Мы можем выразить \( x \) как \( 3y + 4 \) из второго уравнения: Подставляем замену в первое: \[ 2(3y + 4) + 3y = 31 \] Раскрываем: \[ 6y + 8 + 3y = 31 \] Упрощаем: \[ 9y + 8 = 31 \] \[ 9y = 31 - 8 \] \[ 9y = 23 \] \[ y = \frac{23}{9} \]

2. Найдем \( x \): \[ x = 3\left(-\frac{23}{9}\right) + 4 = -\frac{69}{9} + \frac{36}{9} = -\frac{33}{9} \]

Решение данной системы по методу сложения:
\[ x = -\frac{33}{9}, \quad y = -\frac{23}{9} \]

Мыглянка времени

Если у вас есть другие системы уравнений или вам нужно подробнее объяснить отдельные шаги, дайте знать!