Реши уравнение методом интервалов (6-х)(х-2)(х-9) меньше либо равно 0

Для решения неравенства \( (6 - x)(x - 2)(x - 9) \leq 0 \) методом интервалов, будем действовать поэтапно.

Шаг 1: Найдем нули выражения

Для этого приравняем каждую из скобок к нулю:

1. \( 6 - x = 0 \) → \( x = 6 \)
2. \( x - 2 = 0 \) → \( x = 2 \)
3. \( x - 9 = 0 \) → \( x = 9 \)

Таким образом, мы нашли нули: \( x = 2, 6, 9 \).

Шаг 2: Построим числовую прямую и определим интервалы

На числовой прямой выделим интервалы, которые получились на основе найденных нулей:

• \( (-\infty, 2) \)
• \( (2, 6) \)
• \( (6, 9) \)
• \( (9, +\infty) \)

Шаг 3: Выберем тестовые точки в каждом интервале

Теперь проверим знаки выражения \( (6 - x)(x - 2)(x - 9) \) в каждом из интервалов, выбрав тестовые точки:

1. Интервал \( (-\infty, 2) \):

   • Тестовая точка: \( x = 0 \)
   • \( (6 - 0)(0 - 2)(0 - 9) = (6)(-2)(-9) = 108 \) — положительное.

2. Интервал \( (2, 6) \):

   • Тестовая точка: \( x = 4 \)
   • \( (6 - 4)(4 - 2)(4 - 9) = (2)(2)(-5) = -20 \) — отрицательное.

3. Интервал \( (6, 9) \):

   • Тестовая точка: \( x = 7 \)
   • \( (6 - 7)(7 - 2)(7 - 9) = (-1)(5)(-2) = 10 \) — положительное.

4. Интервал \( (9, +\infty) \):

   • Тестовая точка: \( x = 10 \)
   • \( (6 - 10)(10 - 2)(10 - 9) = (-4)(8)(1) = -32 \) — отрицательное.

Шаг 4: Определяем знаки на интервалах

Подводим итоги:

• На интервале \( (-\infty, 2) \) — положительное.
• На интервале \( (2, 6) \) — отрицательное.
• На интервале \( (6, 9) \) — положительное.
• На интервале \( (9, +\infty) \) — отрицательное.

Шаг 5: Определим, где выражение меньше или равно нулю

Неравенство \( (6-x)(x-2)(x-9) \leq 0 \) выполняется:

• На интервале \( (2, 6) \) — где функция отрицательна.
• На интервале \( (9, +\infty) \) — также отрицательное (но в данном случае не включаем, так как у нас "меньше либо равно нулю").

Теперь смотрим, как ведут себя нули:

• \( x = 2 \) — выражение равно нулю.
• \( x = 6 \) — выражение равно нулю.
• \( x = 9 \) — выражение равно нулю.

Итоговый ответ

Объединим все найденные интервалы:

\[ x \in [2, 6] \cup [9, +\infty) \]

Таким образом, решение неравенства \( (6 - x)(x - 2)(x - 9) \leq 0 \) будет записано как:

Ответ: \( [2, 6] \cup [9, +\infty) \).