Реши уравнение методом интервалов (6-х)(х-2)(х-9) меньше либо равно 0

Для решения неравенства \( (6 - x)(x - 2)(x - 9) \leq 0 \) методом интервалов, будем действовать поэтапно. ### Шаг 1: Найдем нули выражения Для этого приравняем каждую из скобок к нулю: 1. \( 6 - x = 0 \) → \( x = 6 \) 2. \( x - 2 = 0 \) → \( x = 2 \) 3. \( x - 9 = 0 \) → \( x = 9 \) Таким образом, мы нашли нули: \( x = 2, 6, 9 \). ### Шаг 2: Построим числовую прямую и определим интервалы На числовой прямой выделим интервалы, которые получились на основе найденных нулей: - \( (-\infty, 2) \) - \( (2, 6) \) - \( (6, 9) \) - \( (9, +\infty) \) ### Шаг 3: Выберем тестовые точки в каждом интервале Теперь проверим знаки выражения \( (6 - x)(x - 2)(x - 9) \) в каждом из интервалов, выбрав тестовые точки: 1. **Интервал \( (-\infty, 2) \)**: - Тестовая точка: \( x = 0 \) - \( (6 - 0)(0 - 2)(0 - 9) = (6)(-2)(-9) = 108 \) — положительное. 2. **Интервал \( (2, 6) \)**: - Тестовая точка: \( x = 4 \) - \( (6 - 4)(4 - 2)(4 - 9) = (2)(2)(-5) = -20 \) — отрицательное. 3. **Интервал \( (6, 9) \)**: - Тестовая точка: \( x = 7 \) - \( (6 - 7)(7 - 2)(7 - 9) = (-1)(5)(-2) = 10 \) — положительное. 4. **Интервал \( (9, +\infty) \)**: - Тестовая точка: \( x = 10 \) - \( (6 - 10)(10 - 2)(10 - 9) = (-4)(8)(1) = -32 \) — отрицательное. ### Шаг 4: Определяем знаки на интервалах Подводим итоги: - На интервале \( (-\infty, 2) \) — положительное. - На интервале \( (2, 6) \) — отрицательное. - На интервале \( (6, 9) \) — положительное. - На интервале \( (9, +\infty) \) — отрицательное. ### Шаг 5: Определим, где выражение меньше или равно нулю Неравенство \( (6-x)(x-2)(x-9) \leq 0 \) выполняется: - На интервале \( (2, 6) \) — где функция отрицательна. - На интервале \( (9, +\infty) \) — также отрицательное (но в данном случае не включаем, так как у нас "меньше либо равно нулю"). Теперь смотрим, как ведут себя нули: - \( x = 2 \) — выражение равно нулю. - \( x = 6 \) — выражение равно нулю. - \( x = 9 \) — выражение равно нулю. ### Итоговый ответ Объединим все найденные интервалы: \[ x \in [2, 6] \cup [9, +\infty) \] Таким образом, решение неравенства \( (6 - x)(x - 2)(x - 9) \leq 0 \) будет записано как: **Ответ:** \( [2, 6] \cup [9, +\infty) \).