Вычисли
Для вычисления длины дуги кривой, заданной уравнением в полярной системе координат \( r = 3 \cos \phi \), воспользуемся формулой для длины дуги в полярных координатах:
\[ L = \int_{\alpha}^{\beta} \sqrt{\left(\frac{dr}{d\phi}\right)^2 + r^2} \, d\phi \]
Найдем производную \(\frac{dr}{d\phi}\):
Для \( r = 3 \cos \phi \), производная \( \frac{dr}{d\phi} \) равна:
\[ \frac{dr}{d\phi} = -3 \sin \phi \]
Подставим \( r \) и \(\frac{dr}{d\phi}\) в формулу:
\[ L = \int_{\alpha}^{\beta} \sqrt{(-3 \sin \phi)^2 + (3 \cos \phi)^2} \, d\phi \]
\[ = \int_{\alpha}^{\beta} \sqrt{9 \sin^2 \phi + 9 \cos^2 \phi} \, d\phi \]
\[ = \int_{\alpha}^{\beta} \sqrt{9 (\sin^2 \phi + \cos^2 \phi)} \, d\phi \]
Так как \(\sin^2 \phi + \cos^2 \phi = 1\), получаем:
\[ = \int_{\alpha}^{\beta} \sqrt{9} \, d\phi = \int_{\alpha}^{\beta} 3 \, d\phi \]
Вычислим предельные значения \(\alpha\) и \(\beta\):
Уравнение \( r = 3 \cos \phi \) описывает окружность с центром в точке (3/2, 0) и радиусом 3/2. Угол \(\phi\) изменяется от \(-\frac{\pi}{2}\) до \(\frac{\pi}{2}\) для верхней полукруглой дуги окружности, затем возвращается обратно от \(\frac{\pi}{2}\) до \(-\frac{\pi}{2}\).
Вычислим интеграл для \(\phi\) от \(-\frac{\pi}{2}\) до \(\frac{\pi}{2}\):
\[ L = \int_{-\frac{\pi}{2}}^{\frac{\pi}{2}} 3 \, d\phi = 3 \left[\phi\right]_{-\frac{\pi}{2}}^{\frac{\pi}{2}} \]
\[ = 3 \left(\frac{\pi}{2} - \left(-\frac{\pi}{2}\right)\right) = 3 \cdot \pi \]
Таким образом, длина дуги кривой равна \( 3\pi \).
