Реши уравнение методом интервалов (3-х)(х-4)(х+6) больше либо равно 0

Для решения неравенства \(3(x - 4)(x + 6) \geq 0\) методом интервалов, следуем следующим шагам:

Шаг 1: Найдем нули функции

Сначала найдем нули выражения \(3(x - 4)(x + 6)\). Это происходит, когда:

\[ 3(x - 4)(x + 6) = 0 \]

Таким образом, нам нужно решить уравнение:

\[ (x - 4)(x + 6) = 0 \]

Нули находятся при:

1. \(x - 4 = 0 \Rightarrow x = 4\)
2. \(x + 6 = 0 \Rightarrow x = -6\)

Нули функции: \(x = -6\) и \(x = 4\).

Шаг 2: Определим интервалы

Теперь определим интервалы, на которых будем тестировать знак функции. Нули разбивают числовую прямую на три интервала:

1. \( (-\infty, -6) \)
2. \( (-6, 4) \)
3. \( (4, +\infty) \)

Шаг 3: Выберем тестовые точки

Теперь выберем тестовые точки из каждого интервала и подставим их в неравенство \( (x - 4)(x + 6) \):

1. Интервал \( (-\infty, -6) \)
   Тестовая точка: \(x = -7\)
   \[ (x - 4)(x + 6) = (-7 - 4)(-7 + 6) = (-11)(-1) = 11 > 0 \]

2. Интервал \( (-6, 4) \)
   Тестовая точка: \(x = 0\)
   \[ (x - 4)(x + 6) = (0 - 4)(0 + 6) = (-4)(6) = -24 < 0 \]

3. Интервал \( (4, +\infty) \)
   Тестовая точка: \(x = 5\)
   \[ (x - 4)(x + 6) = (5 - 4)(5 + 6) = (1)(11) = 11 > 0 \]

Шаг 4: Подытожим

Теперь мы знаем, где функция положительна или равна нулю:

• \( (-\infty, -6) \): положительное
• \( (-6, 4) \): отрицательное
• \( (4, +\infty) \): положительное

Шаг 5: Учитываем границы

Неравенство включает знак "больше или равно", значит, мы также учитываем точки, где функция равна нулю:

• \(x = -6\), \(3(-6 - 4)(-6 + 6) = 0\)
• \(x = 4\), \(3(4 - 4)(4 + 6) = 0\)

Таким образом, \(x = -6\) и \(x = 4\) включаются в решение.

Шаг 6: Записываем ответ

Решение неравенства \(3(x - 4)(x + 6) \geq 0\):

\[ x \in (-\infty, -6] \cup [4, +\infty) \]

Таким образом, все \(x\), которые удовлетворяют неравенству, находятся в интервалах \((- \infty, -6]\) и \([4, +\infty)\).