Какие интегралы сходятся, а какие расходятся
Для исследования сходимости интегралов определённого типа, нужно проверить поведение функции под интегралом на бесконечности или на концах промежутка интегрирования. Рассмотрим каждый из предложенных интегралов.
1. \(\int_{1}^{\infty} \frac{\ln{\frac{x^2 + 5}{x^2 + 2}}}{x} \, dx\)
Раскроем логарифм:
\[ \ln{\frac{x^2 + 5}{x^2 + 2}} = \ln{(x^2 + 5)} - \ln{(x^2 + 2)} \]
При \(x \to \infty\), каждое из выражений в логарифме стремится к \(\ln{x^2}\), следовательно, разница стремится к постоянному значению:
\[ \ln{\frac{x^2 + 5}{x^2 + 2}} \approx \frac{5 - 2}{x^2} = \frac{3}{x^2} \]
Подынтегральная функция \(\frac{3}{x^3}\) на \([1, \infty)\). Этот интеграл сходится, используя \(p\)-тест: \(p = 3 > 1\).
2. \(\int_{0}^{1} \frac{x^2 + \cos{2x}}{x^3 - x + 1} \, dx\)
Попробуем проверить сходимость вблизи 0. При \(x \approx 0\), имеем:
- Числитель: \(x^2 + \cos{2x} \approx 1\)
- Знаменатель: \(x^3 - x + 1 \approx 1\)
Функция \(\frac{1}{1} = 1\) около 0, интеграл \(\int_{0}^{1} 1 \, dx\) сходится.
3. \(\int_{0}^{1} \arcsin{\frac{1}{\sqrt{4x - 1}}} \, dx\)
Исследуем поведение функции при \(x \to \frac{1}{4}\):
- \(\sqrt{4x-1} \to 0\), \(\arcsin{\infty}\) не определён.
Проблема с поведением \(\sqrt{4x-1}\), когда \(4x-1\) подходит к нулю при \(x \to \frac{1}{4}^+\), значит интеграл расходится.
4. \(\int_{5}^{\infty} \sqrt[4]{(x-1)(x-2)(x-3)} \, dx\)
Исследуем как ведет себя функция \(x^{3/4}\) при \(x \to \infty\). Интеграл \(\int_{5}^{\infty} x^{3/4} \, dx\) расходится, так как \(p = \frac{3}{4} < 1\).
Итоги:
- 1-ый интеграл: Сходится
- 2-ой интеграл: Сходится
- 3-ий интеграл: Расходится
- 4-ый интеграл: Расходится
